WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:08.400 Vi skal nå snakke litt om omvendte funksjoner, som også kalles inverse funksjoner. 00:00:08.400 --> 00:00:15.500 Har vi en funksjon som går fra en mengde inni en annen mengde, ønsker vi å si om vi kan gå den andre veien, 00:00:15.500 --> 00:00:23.000 altså herfra og tilbake igjen. For eksempel, hvis vi har en melding vi vil sende til noen 00:00:23.000 --> 00:00:28.900 og som skal være hemmelig, så kan vi ha noen bokstaver som vi lager om til tall, 00:00:28.900 --> 00:00:34.200 så regner vi ut et tall fra denne meldingen. Kan man da gå tilbake igjen til den opprinnelige meldingen? 00:00:34.200 --> 00:00:44.100 Det handler om inverse operasjoner. La oss ta en x. Hvis vi sender den til 3x, 00:00:44.100 --> 00:00:49.500 det betyr at da ganger vi tallet med 3. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:00:49.500 --> 00:00:58.500 Spørsmålet er da, kan vi gå tilbake igjen? Hvis vi tar en y, hva skal den da sendes på for at 00:00:58.500 --> 00:01:07.500 vi skal komme tilbake til der vi startet? Jo, da blir det 1/3y. Det å gange med 3 00:01:07.500 --> 00:01:15.900 og gange med 1/3, det er inverse/omvendte operasjoner. Det betyr at hvis vi da starter med x, 00:01:15.900 --> 00:01:24.700 ganger med 3 og setter 3x=y, og vi da går tilbake og ganger med 1/3, så blir det likhet her også. 00:01:24.700 --> 00:01:35.600 Når vi da har ligningen x=3y, så kan vi løse ut og få y=1/3x. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:01:35.600 --> 00:01:46.100 Tilsvarende, hvis vi plusser på 3 isteden, så får vi x+3. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:46.100 --> 00:01:53.900 Hva må vi gjøre for å komme tilbake til x? Kan vi det på en entydig måte? 00:01:53.900 --> 00:02:05.500 Det kan vi. Hvis vi trekker fra 3, så kommer vi tilbake igjen. Hvis vi starter med x, 00:02:05.500 --> 00:02:14.400 plusser på 3 og setter dette lik y og så trekker vi fra 3, så får vi y-3=x. Da kan vi komme tilbake 00:02:14.400 --> 00:02:17.500 til den samme x-en som vi starter med. NOTE Treffsikkerhet: 82% (HØY) 00:02:17.800 --> 00:02:29.300 Hvis vi nå prøver å kvadrere x, det betyr at vi sender x til x^2. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:02:29.300 --> 00:02:37.500 Så tar vi y her borte og prøver å ta den omvendte operasjonen. En omvendt operasjon av å opphøye i annen, 00:02:37.500 --> 00:02:47.500 er å ta kvadratroten. Hvis vi tar roten av y, kan vi både få +/- roten av y. 00:02:47.500 --> 00:02:56.800 Da vet vi faktisk ikke hvilket tall vi startet med. For eksempel kunne vi 00:02:56.800 --> 00:03:03.600 ha startet med 2 og så fått 4. Hvis vi da starter med 4 og tar roten av 4, så får vi både +/- 2. 00:03:03.600 --> 00:03:13.100 Da vet vi ikke om vi startet med +/- 2. Noen ganger klarer vi å finne 00:03:13.100 --> 00:03:17.700 en omvendt operasjon, og andre ganger klarer vi det ikke helt. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:03:17.700 --> 00:03:33.800 Det vi ønsker og det vi har, er en funksjon fra en definisjonsmengde inn i en verdimengde. 00:03:33.800 --> 00:03:39.500 Hvis vi skriver funksjonen på denne måten, så treffer vi alle elementer her borte. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:03:39.500 --> 00:03:47.300 Så må vi huske hva en funksjon er for noe. Den er altså en regel som til ethvert element her, 00:03:47.300 --> 00:03:54.200 tar bare ett element her borte. For hvert element her, så finnes det kun en verdi her borte. 00:03:54.200 --> 00:04:00.500 Det skal vi gjøre den andre veien. Hvis vi skal kunne ta en omvendt operasjon, skal dette 00:04:00.500 --> 00:04:07.350 gjelde motsatt også. Til hvert element her, så finnes det kun ett element her borte. NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:04:07.350 --> 00:04:13.500 I dette tilfellet her så gjør det ikke det. Til hvert element her så finnes det ikke bare ett, 00:04:13.500 --> 00:04:15.850 men to elementer. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:04:15.850 --> 00:04:24.000 Det betyr at hvis vi skal kunne gå tilbake, hvis vi skal kunne ha en invers funksjon, så må vi ha 00:04:24.000 --> 00:04:36.300 at hvis funksjonsverdien for to x-er er lik, så må x-verdiene også være like. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:04:40.200 --> 00:04:46.400 Dette gjelder ikke for alle funksjoner. Det gjelder ikke for kvadreringsfunksjonen, 00:04:46.400 --> 00:04:58.000 men det gjelder når vi plusser og ganger med et tall. Dette kalles injektive funksjoner. 00:04:58.000 --> 00:05:10.200 Har vi en injektiv funksjon, da har vi en invers og kun da. Så hvis vi har dette oppfylt, 00:05:10.200 --> 00:05:25.400 har f en invers/omvendt funksjon. Den skriver vi gjerne f^-1. 00:05:25.400 --> 00:05:30.400 Det er ikke en vanlig eksponent opphøyd i -1, så dette er ikke 1/f. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:05:30.400 --> 00:05:38.900 Dette står for den inverse funksjonen. Den går da fra Vf til Df. 00:05:38.900 --> 00:05:59.900 Den er definert ved f^-1(y)=x, slik at f(x)=y. 00:05:59.900 --> 00:06:12.800 Poenget er at det finnes kun en slik y. x er det eneste elementet slik at f(x)=y. 00:06:12.800 --> 00:06:20.800 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:06:20.800 --> 00:06:29.800 Når vi har injektive funksjoner, har vi en invers funksjon. Da bytter altså x og y plass. 00:06:29.800 --> 00:06:38.700 Verdimengden og definisjonsmengden til f, blir da definisjonsmengden og verdimengden til f^-1. 00:06:38.700 --> 00:06:43.300 Det skal vi se enda litt nærmere på nå. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:06:43.600 --> 00:06:52.200 I omvendte eller inverse funksjoner bytter x og y rolle. Det betyr spesielt at 00:06:52.200 --> 00:07:05.400 hvis vi har et punkt (x, y) på grafen til f, så vil punktet (y, x) ligge på grafen til den inverse funksjonen. 00:07:05.400 --> 00:07:18.900 For eksempel hvis vi tegner funksjonen 3x, så er det linjen med stigningstall 3. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:07:19.500 --> 00:07:34.300 På den linja så ligger da for eksempel punktet (1, 3). Den inverse funksjonen er 1/3y. 00:07:34.300 --> 00:07:42.000 Da ser vi at nå må vi veksle mellom rollene til x og y. Hvis vi skal tegne denne, 00:07:42.000 --> 00:07:48.800 så må vi tenke på dette som grafen til 1/3x for at vi skal få det inn i samme koordinatsystem. 00:07:48.800 --> 00:07:59.300 Hvis vi tegner inn 1/3x, da får vi linjen med stigningstall 1/3. Da ser vi 00:07:59.300 --> 00:08:12.550 at punktet (1, 3) ligger på den grafen. (3, 1) ligger på linja 3x, og (1, 3) ligger på linja 1/3y. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:08:12.550 --> 00:08:22.500 En annen ting vi ser er at siden y og x bytter rolle, så vil det i grafene 00:08:22.500 --> 00:08:28.700 til de inverse funksjonene alltid være speiling om linja der y=x. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:08:28.700 --> 00:08:40.100 Det ser vi i tilfeller hvor vi plusser på 3 og trekker fra 3. Da har vi linja x+3. 00:08:40.100 --> 00:08:53.800 Den går gjennom 3, og så har den stigningstall 1. Så har vi linja x-3. Når vi skal ha 00:08:53.800 --> 00:09:00.200 det samme koordinatsystemet, så må vi skifte variabel til x. Den går gjennom punktet -3 00:09:00.200 --> 00:09:10.500 og har stigningstall 1, så den blir parallell med denne linjen her. De vil også være speilbilder 00:09:10.500 --> 00:09:14.200 av hverandre om linja y=x. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:09:14.200 --> 00:09:23.600 Så da er spørsmålet, hvordan kan man sjekke at en litt mer avansert funksjon har en invers, 00:09:23.600 --> 00:09:30.099 for eksempel hvis y = x^1/3 + 3? NOTE Treffsikkerhet: 94% (HØY) 00:09:30.099 --> 00:09:34.600 Har den funksjonen en invers funksjon? NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:09:34.600 --> 00:09:44.100 En mulighet er å løse ut for x og se om vi får en entydig løsning, altså ikke 2 løsninger 00:09:44.100 --> 00:09:56.000 sånn som vi fikk når vi tok roten, men bare ett uttrykk for x. Da løser vi ut for x. Vi får y-3 = x^1/3. 00:09:56.000 --> 00:10:07.400 Så opphøyer vi i tredje. Da får vi at x = (y-3)^3. Det er kun en løsning for x, 00:10:07.400 --> 00:10:13.750 og da ser vi at denne funksjonen er injektiv på hele sitt definisjonsområde, som er hele R. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:10:13.750 --> 00:10:22.950 En annen måte å sjekke at vi har en injektiv funksjon på, som dermed har en invers, er å se på grafen. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:10:22.950 --> 00:10:29.500 Grafen til en injektiv funksjon, den vil jo nettopp være sånn at hvis vi tegner en horisontal linje, 00:10:29.500 --> 00:10:39.400 vil den alltid bare skjære grafen i et punkt. For hver horisontal linje, 00:10:39.400 --> 00:10:46.250 vil grafen skjære denne horisontale linjen bare i ett punkt. Da har vi en injektiv funksjon. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:10:46.250 --> 00:10:54.900 En annen måte å sjekke at vi har en injektiv funksjon på, er å sjekke om den er monoton. 00:10:54.900 --> 00:11:02.100 Den er enten voksende eller avtagende. Da vil den oppfylle dette her. Hvis den er enten bare voksende 00:11:02.100 --> 00:11:09.900 eller bare avtagende, så vil vi for hver horisontale linje bare treffe funksjonsgrafen i ett punkt. 00:11:09.900 --> 00:11:18.100 Hvis funksjonen er monoton, så er den injektiv, og da har den en invers funksjon. En annen måte 00:11:18.100 --> 00:11:26.600 å sjekke at denne har en invers funksjon, er å derivere den. Hvis vi tar y'(x) med hensyn på x, 00:11:26.600 --> 00:11:35.150 får vi 1/3x^-2/3. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:35.150 --> 00:11:51.100 Dette uttrykket er alltid positivt. Den er ikke deriverbar for x=0, 00:11:51.100 --> 00:11:58.400 men det sier at denne funksjonen er voksende. Dermed er den injektiv og har en invers. 00:11:58.400 --> 00:12:05.600 Her har vi klart å finne et uttrykk for den inverse funksjonen. Men det klarer vi ikke alltid å gjøre. 00:12:05.600 --> 00:12:10.800 Vi kan si en del om den inverse funksjonen allikevel, og det skal vi se på nå. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:12:11.300 --> 00:12:22.200 Vi kan si en del mer om inverse funksjoner. For eksempel, hvis vi starter med en x og bruker f(x). 00:12:22.200 --> 00:12:32.800 Så bruker f^-1 på dette igjen, så vet vi at vi får tilbake x. Det er nettopp 00:12:32.800 --> 00:12:35.350 det omvendte funksjoner handler om. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:12:35.350 --> 00:12:42.900 Har vi to uttrykk i x som er lik hverandre, det betyr at vi kan derivere på begge sider 00:12:42.900 --> 00:12:49.200 og fortsatt få likhet. Så la oss gjøre det og se hva som skjer. Hvis vi nå deriverer 00:12:49.200 --> 00:12:58.600 på venstre side, så får vi den deriverte av en inversfunksjonen med hensyn på f(x). Så må vi gange med 00:12:58.600 --> 00:13:06.400 den deriverte av kjernen som er f'(x). Hvis vi deriverer på høyre side, får vi 1. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:13:07.700 --> 00:13:21.000 Dette sier nå at f'(x), hvis vi lar den stå igjen på venstresiden, er 1 / f'(x)^-1 00:13:21.000 --> 00:13:24.300 med hensyn på f(x). NOTE Treffsikkerhet: 78% (HØY) 00:13:24.400 --> 00:13:28.000 Det er en veldig fin sammenheng. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:13:29.300 --> 00:13:41.000 Det betyr også at vi kan godt innføre denne y-en som f(x). Så står det altså y her. 00:13:41.000 --> 00:13:47.500 Hvis vi skal finne den deriverte av en funksjon i et punkt x, så kan vi bruke den omvendte funksjonen 00:13:47.500 --> 00:13:56.100 og sette inn f(x) i den deriverte for den omvendte funksjonen, eller motsatt. Vi kan jo også beholde denne 00:13:56.100 --> 00:14:04.500 på venstresiden, og så få 1 / f'(x) isteden. La oss sjekke denne regelen 00:14:04.500 --> 00:14:09.349 på dette eksempelet her. Nå har vi allerede derivert y eller f NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:14:09.349 --> 00:14:19.100 med hensyn på x, og da fikk vi dette uttrykket her. La oss ta et punkt som ligger på funksjonsgrafen. 00:14:19.100 --> 00:14:26.600 f(x) = x^1/3 + 3. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:14:26.600 --> 00:14:39.900 Da ser vi for eksempel at f(1)=4. Punktet (1, 4) er med på funksjonsgrafen til f. 00:14:39.900 --> 00:14:44.900 Hva er den deriverte i punktet 1? NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:14:44.900 --> 00:14:51.100 Jo, det er å sette inn 1 i dette uttrykket, for her har vi derivert. Det er 1/3. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:14:52.900 --> 00:15:08.600 Det betyr, ifølge dette her, at f'(x)^-1 i det tilhørende punktet, altså 4, 00:15:08.600 --> 00:15:21.500 er 1 delt på den deriverte i punktet 1, altså 3. Så da ser vi at uten å vite uttrykket for f invers, 00:15:21.500 --> 00:15:29.300 så kan vi bruke funksjonen til å finne den deriverte i ulike punkter. I dette tilfellet så har vi 00:15:29.300 --> 00:15:45.500 faktisk funnet et uttrykk for f invers. Det heter altså (x-3)^3. Nå har vi byttet variabel 00:15:45.500 --> 00:15:51.750 til bare å gjelde x-er, fordi vi er ganske vant til å bruke x som variabel. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:15:51.750 --> 00:16:04.300 Hvis vi deriverer f invers med hensyn på x, så får vi 3(x-3)^2. Hvis vi setter inn 4, 00:16:04.300 --> 00:16:12.400 får vi 3*1=3. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:16:13.400 --> 00:16:22.000 Da har vi sjekket at denne formelen stemmer. Denne her er veldig nyttig i forbindelse med 00:16:22.000 --> 00:16:28.850 inversee funksjoner, spesielt når vi ikke klarer å finne et uttrykk for den omvendte funksjonen. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:16:28.850 --> 00:16:35.500 Vi skal se på et eksempel på en omvendt funksjon som kan være nyttig, og den kommer fra trigonometri. 00:16:35.500 --> 00:16:44.500 Vi ser på uttrykket y=tan x. Det betyr at for hver vinkel, regner vi ut tangensverdien. 00:16:44.500 --> 00:16:52.200 Det er da y. Spørsmålet er nå, kan vi gå andre vei? Gitt en y-verdi, kan vi finne 00:16:52.200 --> 00:16:59.900 en x som har denne y-verdien som tangensverdi? Da vet vi at det er faktisk flere vinkler 00:16:59.900 --> 00:17:07.500 som har samme tangensverdi. For eksempel har både vinkel 0 og pi tangensverdi i 0. Vi kan se det 00:17:07.500 --> 00:17:20.000 fra grafen til tangens. Tangensgrafen har flere grener. Hvis vi tegner noen av dem, så ser den sånn ut. 00:17:20.000 --> 00:17:29.449 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:17:29.449 --> 00:17:40.800 Denne funksjonen er ikke injektiv. Til hver y-verdi finnes flere x-verdier som har samme y-verdi. 00:17:40.800 --> 00:17:42.700 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:17:44.100 --> 00:17:52.000 Men hvis vi restrikterer oss til et mindre område, bare se på en av grenene 00:17:52.000 --> 00:17:59.800 som den mellom -pi/2 og pi/2, da vil vi få en injektiv funksjon. 00:17:59.800 --> 00:18:05.050 På dette området vil vi kun få en x-verdi til hver gitte y-verdi. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:18:05.050 --> 00:18:18.800 Hvis vi ser på tan x fra -pi/2 til pi/2 som definisjonsmengde, så vil vi ha verdimengde hele R. 00:18:18.800 --> 00:18:25.800 Vi treffer alle verdier i R med tan x. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:18:25.800 --> 00:18:35.900 Denne er injektiv. Det betyr at den har en invers funksjon. Denne inverse funksjonen 00:18:35.900 --> 00:18:49.300 har et eget navn. Den kalles arctan x, og den går fra R inn i -pi/2 til pi/2. 00:18:49.300 --> 00:18:50.700 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:18:50.700 --> 00:19:01.700 Skal vi nå også beholde y en stund til som variabel. Vi startet jo med y=tan x. 00:19:01.700 --> 00:19:06.400 Vi kan beholde y som variabel i arctan y. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:19:07.500 --> 00:19:16.900 Vi kan tegne grafen til arctan. Den går altså fra R inn i intervallet -pi/2, pi/2. 00:19:16.900 --> 00:19:27.700 Det betyr at den holder seg mellom de to verdiene -pi/2 til pi/2. 00:19:27.700 --> 00:19:39.200 Den er speilbilde av denne grenen her om linjen y=x. Da får vi den type oppførsel. Dette her er oppførselen 00:19:39.200 --> 00:19:41.400 til arctanfunksjonen. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:19:41.400 --> 00:19:51.500 En veldig viktig ting med oppsettet for inverse funksjoner, er at vi nå kan finne et uttrykk 00:19:51.500 --> 00:20:04.500 for den deriverte til arctan. Så hvis vi starter med f(x) = tan x = y, 00:20:04.500 --> 00:20:13.800 kan vi bruke den deriverte til tan x. Det er 1 + tan^2 x. 00:20:13.800 --> 00:20:18.050 Det blir 1+y^2, for tan x=y. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:20:18.050 --> 00:20:28.500 Hvis vi bruker formelen som vi da har for omvendte funksjoner, så ser vi nå at den deriverte 00:20:28.500 --> 00:20:41.000 av den inverse funksjonen med hensyn på y, den skal da være 1 / f'(x), der y og x hører sammen. 00:20:41.000 --> 00:20:42.050 NOTE Treffsikkerhet: 80% (HØY) 00:20:42.050 --> 00:20:50.949 Siden f'(x) er 1+y^2, får vi 1 / 1+y^2. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:20:50.949 --> 00:20:56.800 Dermed har vi en formel i dette tilfellet. I dette tilfellet er f invers arctan x. 00:20:56.800 --> 00:21:05.700 Hvis vi nå bytter variabel til x istedenfor y, 00:21:05.700 --> 00:21:16.800 får vi den deriverte av arctan x som 1 / 1+x^2. Dette er en veldig nyttig formel. 00:21:16.800 --> 00:21:25.600 Den kan brukes til for eksempel å regne ut integralet av 1 / 1+x^2. 00:21:25.600 --> 00:21:37.200 Det blir arctan x + C. Da ser vi hvordan vi kan bruke teorien for omvendte funksjoner til å få ut 00:21:37.200 --> 00:21:40.300 nyttige formler som kan brukes andre steder.