WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:07.900 Vi skal nå se på en derivasjonsteknikk som kalles logaritmisk derivasjon. Når vi skal derivere, 00:00:07.900 --> 00:00:13.300 skal vi finne forandringene til en funksjon. Vi har mange derivasjonsregler vi kan følge, 00:00:13.300 --> 00:00:20.100 som produktregel og kjerneregel. En kombinasjon av dem er kanskje aller mest nyttig i bruk. 00:00:20.100 --> 00:00:28.900 Hvis vi for eksempel har en funksjon x^(e^x), NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:28.900 --> 00:00:36.600 begynner vi å få litt problemer med produktregel, kjerneregel og de kjente reglene vi har. 00:00:36.600 --> 00:00:43.800 Nå har vi en variabel både i grunntallsposisjonen og oppi eksponenten. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:00:43.800 --> 00:00:51.300 Det er nå logaritmer og logaritmeregler kommer inn, og kan kombineres med derivasjonsreglene. 00:00:51.300 --> 00:00:59.600 Så klarer vi faktisk å derivere denne type funksjoner også. Vi tar ln på begge sider, 00:00:59.600 --> 00:01:10.600 den naturlige logaritmen. Så deriverer vi på begge sider. Nå har vi to like funksjonsuttrykk. 00:01:10.600 --> 00:01:27.700 Vi kan derivere på begge sider. På venstre side får vi 1 / f(x) 00:01:27.700 --> 00:01:31.650 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:01:31.650 --> 00:01:40.700 ganger den deriverte av kjernen som er f'(x). På høyre side har vi et uttrykk 00:01:40.700 --> 00:01:48.700 med den naturlige logaritmen og x^(e^x). Nå bruker vi regneregler for logaritmer. 00:01:48.700 --> 00:01:54.500 Da får vi vi (e^x*ln x)'. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:54.900 --> 00:02:03.900 På venstresiden står det fortsatt f'(x) / f(x). Så må vi det derivere dette. 00:02:03.900 --> 00:02:15.700 Nå har vi et produkt, så da er vi på kjent grunn. Bruker produktregelen og får e^x*(1 / x) + e^x*ln x. 00:02:15.700 --> 00:02:26.000 Da er vi ferdig med å derivere. Nå står det at f'(x) / f(x) er lik dette uttrykket. 00:02:26.000 --> 00:02:38.600 Hvis vi ganger opp med f(x) som vi kjenner, får vi f'(x) = x^(e^x). 00:02:38.600 --> 00:02:52.600 Vi kan godt sette på felles brøkstek, så får vi (e^x + xe^x*ln x) / x. Kanskje ikke så pent uttrykk, 00:02:52.600 --> 00:02:55.850 men vi har funnet et uttrykk for den deriverte. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:02:55.850 --> 00:03:12.100 Dette kalles nå logaritmisk derivasjon. Da kan vi skrive opp hva vi har gjort. 00:03:12.100 --> 00:03:15.000 Vi kan nå finne den deriverte til en funksjon. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:03:15.100 --> 00:03:28.300 Formelen blir f(x) ganger den deriverte til logaritmen til funksjonen. 00:03:28.300 --> 00:03:40.700 Vi får f'(x) = f(x)*den deriverte(ln(f(x)). Dette gjelder hvis f er deriverbar 00:03:40.700 --> 00:04:01.100 og forskjellig fra 0 i punktet x. Da ser vi at denne formelen stemmer. 00:04:01.100 --> 00:04:11.800 Hvis vi tar utgangspunkt i ln(fx) og deriverer den, så får vi 1 / f(x)*Df(x), som er kjernen. 00:04:11.800 --> 00:04:15.800 Da får vi f'(x) / f(x), NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:04:15.800 --> 00:04:24.800 som vi har sett et eksempel på her borte. Og nå skal vi se på et eksempel til. 00:04:24.800 --> 00:04:33.800 Vi skal finne den deriverte funksjonen til uttrykket e^(x^2)*(cos x)^(x^1/2). 00:04:33.800 --> 00:04:38.900 Generelt, når vi skal derivere en funksjon, så kan det være fint å se på uttrykket og tenke litt, 00:04:38.900 --> 00:04:47.100 hvordan er dette uttrykket satt sammen? Her har vi e^(x^2), og så har vi et produkt med cosinusfunksjonen 00:04:47.100 --> 00:04:52.600 opphøyd i roten av x. Her borte har vi en sammensatt funksjon. 00:04:52.600 --> 00:04:58.950 Vi har en sammensatt funksjon oppe i eksponenten. Vi har en funksjon opphøyd i en annen funksjon. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:04:58.950 --> 00:05:08.300 Så har vi et produkt i tillegg. Da holder det ikke bare med å bruke produktregelen eller kjerneregelen. 00:05:08.300 --> 00:05:15.500 Vi tenker da logaritmisk derivasjon. Nå har vi en ny teknikk som vi kan bruke hvis vi står fast og ikke kommer videre. 00:05:15.500 --> 00:05:33.400 Da prøver vi å ta ln på begge sider, og så deriverer vi 00:05:33.400 --> 00:05:33.950 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:05:33.950 --> 00:05:46.900 begge sider med hensyn på x. Da får vi altså den deriverte av ln f(x) på venstresiden, 00:05:46.900 --> 00:06:00.600 det er 1 / f(x) * f'(x). På høyresiden må vi regne litt. 00:06:00.600 --> 00:06:11.000 Vi har ln til et produkt. Logaritmen til et produkt er summen av logaritmene til de ulike faktorene. 00:06:11.000 --> 00:06:23.500 Vi får ln(e^(x^2)) + (ln (cos x)^(x^1/3)). Vi har ikke derivert enda, 00:06:23.500 --> 00:06:25.250 vi brukte logaritmereglene. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:06:25.250 --> 00:06:35.800 Men ln e^(x^2), det er x^2. Den deriverte av x^2 er 2x. 00:06:35.800 --> 00:06:47.600 Vi er godt i gang allerede. Da får vi 2x for dette leddet. Så må vi derivere ln (cos x^(x^1/3)). 00:06:47.600 --> 00:06:49.900 NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:06:51.800 --> 00:07:01.400 Da kan vi bruke logaritmeregler enda en gang og flytte ned eksponenten. Vi tar med oss 00:07:01.400 --> 00:07:15.800 det vi allerede har regnet ut. Så får vi da at vi skal derivere roten av x*ln cos x. 00:07:15.800 --> 00:07:27.200 Da har vi et produkt av roten av x og ln cos x som er satt sammen av ln og cos. 00:07:27.200 --> 00:07:41.100 Da får vi f'(x) / f(x). Vi får 2x, så beholder vi roten av x og deriverer ln cos x. 00:07:41.100 --> 00:07:48.000 Vi får 1 / cos x, og så må vi gange med den deriverte av kjernen som er -sin x. NOTE Treffsikkerhet: 70% (MEDIUM) 00:07:48.000 --> 00:07:57.300 Så må vi derivere roten av x og beholde ln cos x. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:58.600 --> 00:08:07.900 Da står det nå at f'(x) / f(x) er dette uttrykket. Det betyr at f'(x) er f(x) ganger dette uttrykket. 00:08:07.900 --> 00:08:21.600 Da får vi at f'(x) = f(x) som er helt her oppe. e^(x^2)*(cos x)^(x^1/2). 00:08:21.600 --> 00:08:35.000 Her har vi -sin x / cos x = tan x. Vi får -roten av x*tan x, 00:08:35.000 --> 00:08:46.300 og så lar vi dette stå som (1 / (2*roten av x)) * ln cos x. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:08:46.300 --> 00:08:57.900 Nå har vi derivert denne funksjonen også. Husk: vi har logaritmisk derivasjon 00:08:57.900 --> 00:09:03.700 som en mulig teknikk, og spesielt kanskje når vi har produkter av flere funksjoner. 00:09:03.700 --> 00:09:13.200 Spesielt eksponenter med funksjonsuttrykk. Da kan vi bruke logaritmeregler og kombinere det 00:09:13.200 --> 00:09:15.500 med derivasjonsreglene.