WEBVTT Kind: captions; language: nb-no NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:00:00.000 --> 00:00:07.100 Vi skal nå se på hvordan vi kan løse en viss type problemer som går under tittelen koblede hastigheter. 00:00:07.100 --> 00:00:15.899 På engelsk er ordene related rates, som kan være greit å merke seg. 00:00:15.899 --> 00:00:31.400 Den ukjente i disse problemene er altså en veksthastighet. Hvor fort vokser en viss størrelse? 00:00:31.400 --> 00:00:38.300 Vi vet noe om sammenhengen mellom størrelser som forandrer seg, og hvor fort en størrelse endrer seg. 00:00:38.300 --> 00:00:43.100 Spørsmålet er hvordan en annen størrelse endrer seg, gitt en viss sammenheng? NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:00:43.100 --> 00:01:02.000 Vi starter med et eksempel. Vi tar luft inni en ballong, og vi gjør dette slik at volumet endres 00:01:02.000 --> 00:01:14.200 med en konstant fart på 300cm^3/sek. 00:01:14.200 --> 00:01:33.400 Hvor fort endres radiusen i denne ballongen når radien er 50 cm? Dette er en ganske stor ballong. 00:01:33.400 --> 00:01:41.200 Vi må da også anta at den har tilnærmet kulefasong. Da kan vi bruke formelen 00:01:41.200 --> 00:01:43.400 for volumet til en kule. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:01:43.400 --> 00:01:50.100 Når tiden går, så er det flere ting som endres. 00:01:50.100 --> 00:01:59.300 Når tiden går så vil volumet endres, og radien i ballongen vil endres. I alle disse koblede hastighetsproblemer, 00:01:59.300 --> 00:02:08.800 handler det om at tiden går, og så har vi en sammenheng mellom de involverte størrelsene 00:02:08.800 --> 00:02:10.500 NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:02:10.500 --> 00:02:26.900 som da varierer med tiden. Denne sammenhengen består mens tiden går. I dette tilfellet 00:02:26.900 --> 00:02:34.500 vil sammenhengen være å bruke formelen for volumet til en kule. Vi vet at volumet til en kule 00:02:34.500 --> 00:02:42.400 er 4/3*pi*(r^3), der r er radiusen til kulen. NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:02:42.400 --> 00:02:52.000 Hvis vi har tiden i tillegg som variabel, så vil jo volumet være avhengig av tiden. 00:02:52.000 --> 00:03:00.900 r vil også være avhengig av tiden. Da får vi en sammenheng som gjelder for alle tidspunkt 00:03:00.900 --> 00:03:08.050 som involverer de to størrelsene volum og radius. Disse endres med tiden. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:03:08.050 --> 00:03:13.900 Da har vi foreløpig en likning, men vi har ikke noe ligning som involverer den ukjente, 00:03:13.900 --> 00:03:19.450 som handler om hastighet. Hvor fort øker, eller avtar, disse størrelsene? NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:03:19.450 --> 00:03:27.100 Det handler om å få inn den deriverte, for den sier noe om hvordan disse funksjonene vil endres. 00:03:27.100 --> 00:03:34.200 Nå har vi to funksjonsuttrykk som er like, og da kan vi derivere 00:03:34.200 --> 00:03:41.500 med hensyn på t på begge sider og fortsatt få likhet. Hvis vi deriverer på venstre side 00:03:41.500 --> 00:03:50.000 får vi den deriverte av volumet, da får vi endringene til volumet ved tiden t. Så deriverer vi dette 00:03:50.000 --> 00:04:00.700 uttrykket med hensyn på t. Da får vi ned et 3-tall som forkortes, og vi får 4*pi*(r(t)^2). 00:04:00.700 --> 00:04:10.900 Vi må huske å gange med den deriverte av kjernen, som er r. 00:04:10.900 --> 00:04:15.300 r er også en funksjon som har en derivert, den forandrer seg jo. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:04:15.300 --> 00:04:23.400 Nå har vi fått en likning som da er en likning mellom disse hastighetene. Den sier noe om hvordan 00:04:23.400 --> 00:04:32.400 disse hastighetene er relatert, eller koblet sammen. Her har vi den koblede hastighetsligningen. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:04:38.600 --> 00:04:46.600 I dette tilfellet er vi interessert i det tidspunktet hvor radien er 50 cm. Vi vet ikke selve tidspunktet, 00:04:46.600 --> 00:04:53.200 men vi vet at r(t)=50. Vi trenger ikke å finne et uttrykk for V(t) eller r(t), 00:04:53.200 --> 00:05:01.200 det holder med denne ligningen for å svare på dette spørsmålet. 00:05:01.200 --> 00:05:10.400 Hvis vi setter inn 50 cm her, og så setter vi inn 300cm^3/sek inn for V'(t), så kan vi løse ut 00:05:10.400 --> 00:05:19.200 for r'(t) ved dette spesielle tidspunktet, når r=50. Da får vi at r'(t) 00:05:19.200 --> 00:05:38.500 når r(t)=50, så får vi at V(t) skulle være 300cm^3/sek, og så får vi 4pi og r=50^2, 00:05:38.500 --> 00:05:39.550 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:05:39.550 --> 00:05:58.200 ganger r'(t). Da blir r'(t)=300 / 4pi*(50^2). 00:05:58.200 --> 00:06:11.150 Hvis man bruker kalkulator, blir det tilnærmet 0.0098, så nesten 0,01 cm NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:06:11.150 --> 00:06:31.600 endres radien per sekund når da radien er 50 cm. 00:06:31.600 --> 00:06:33.450 NOTE Treffsikkerhet: 93% (HØY) 00:06:33.450 --> 00:06:40.600 Når vi løser denne typen problemer, så handler det for det første om å finne 00:06:40.600 --> 00:06:47.000 den underliggende variabelen som gjerne er t, og så har vi noen størrelser som vil variere med tiden. 00:06:47.000 --> 00:06:54.000 I dette tilfellet volum og radius. Så setter vi opp en sammenheng mellom disse størrelsene, 00:06:54.000 --> 00:06:59.500 som da vil gjelde for alle tidspunkt. Så kan vi derivere den ligningen, og da er det veldig ofte 00:06:59.500 --> 00:07:06.000 at vi må bruke kjerneregel. Da får vi den koblede hastighetsligningen. Så setter vi inn 00:07:06.000 --> 00:07:11.600 alle de kjente tingene vi har, og da er vi gjerne interessert i hva som skjer for et bestemt tidspunkt. 00:07:11.600 --> 00:07:17.250 Da kan vi sette inn og regne ut slik som ble gjort i dette eksempelet. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:17.250 --> 00:07:26.500 Nå skal vi ta et skikkelig praktisk eksempel med Christin. Christin er nemlig en kjent råsyklist som 00:07:26.500 --> 00:07:33.600 av og til kommer i trøbbel av den grunn. Her har vi da situasjonen. Her er veien, her kommer Christin 00:07:33.600 --> 00:07:42.600 på sykkelen med flagrende hår. Det hun ikke vet, er at her oppe står det en politiradar 00:07:42.600 --> 00:07:45.100 rettet inn mot henne. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:07:45.100 --> 00:07:58.700 Den radaren står da 5 m over bakken, og i det øyeblikket Christin er 12 m borte fra broen, 00:07:58.700 --> 00:08:08.400 måler radaren hvor fort avstanden mellom radaren og Christin endrer seg. Den endrer seg med 48 km/t. 00:08:08.400 --> 00:08:18.400 Hvor er broen? Broen er oppi her, tvers over der oppe. Det er sånn overgang dette her, 00:08:18.400 --> 00:08:24.700 jeg vet hvor det er men jeg vil ikke si det offentlig. 48km/t, men det er jo endringen 00:08:24.700 --> 00:08:31.299 av avstanden fra kamera til deg, det er ikke den avstanden du sykler med. Hvor fort sykler du her? 00:08:31.299 --> 00:08:33.000 NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:08:33.000 --> 00:08:43.000 Er du over 50 km/t her? Er det håp om en fartsbot? Ja, det er ikke jeg helt sikker på. 00:08:43.000 --> 00:08:50.700 Det tar vel kanskje radaren da. Vi regner, matematikken gir oss svaret. Så vet vi at du kan sykle litt 00:08:50.700 --> 00:08:56.400 langsommere i framtiden. Når vi har koblede hastigheter, kan vi ikke bare se på et tidspunkt, 00:08:56.400 --> 00:08:59.200 vi må se på den generelle situasjonen. NOTE Treffsikkerhet: 92% (HØY) 00:08:59.200 --> 00:09:07.700 Den generelle situasjonen-- høyden her er alltid 5 m, men avstanden fra deg til broen, den varierer. 00:09:07.700 --> 00:09:18.400 La oss si at den ved tiden t er x(t). Da har vi jo en avstand her fra radaren 00:09:18.400 --> 00:09:28.400 og ned til deg, som heter y(t). Det vi vet, er hvor mye y(t) endrer seg, 00:09:28.400 --> 00:09:34.300 men vi er interessert i farten din som er hvor mye den avstanden x(t) endrer seg. 00:09:34.300 --> 00:09:38.050 Vi kjenner y'(t), og vi vil finne x'(t). NOTE Treffsikkerhet: 88% (HØY) 00:09:38.050 --> 00:09:44.200 Men i sånne koblede hastighetsoppgaver greier vi aldri å finne en direkte sammenheng mellom de to hastighetene. 00:09:44.200 --> 00:09:50.500 Vi må finne en kobling mellom disse to utgangsstørrelsene først. Vi må ha en kobling mellom x(t) og y(t). 00:09:50.500 --> 00:09:55.650 Den er ikke så veldig vanskelig her, Christin. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:09:55.650 --> 00:10:03.900 Nei, da er det gode, gamle Pytagoras, tenker jeg. Det er gamle, gode Pytagors vet du. Her har vi en katet 00:10:03.900 --> 00:10:09.900 og en annen katet, og hypotenusen der. Vi tar hypotenusen i annen. 00:10:09.900 --> 00:10:22.300 y(t)^2 er lik den ene kateten i annen x(t)^2, pluss den andre kateten i annen, det er 5^2=25. 00:10:22.300 --> 00:10:29.400 Der har vi Pytagoras. Den gjelder gjennom hele bevegelsen her. Dette er to like funksjoner. 00:10:29.400 --> 00:10:35.500 Er funksjonene like, så er selvfølgelig de deriverte også like. Da får vi derivere på begge sider. 00:10:35.500 --> 00:10:38.750 NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:10:38.750 --> 00:10:47.100 Da blir det 2y(t), så må vi huske at y selv er en funksjon, så den må også deriveres. 00:10:47.100 --> 00:10:55.300 Ganger med den deriverte av kjernen, y'(t). Det blir akkurat det samme for x. 00:10:55.300 --> 00:11:07.700 Det blir 2x(t)x'(t). 25 er en konstant. Deriverer vi den, så får vi 0. 00:11:07.700 --> 00:11:15.000 Vi har denne sammenhengen. Vi forkorter 2-tallene. Vi er interessert i farten din, x'(t). 00:11:15.000 --> 00:11:21.200 Vi får løse for x'(t). 00:11:21.200 --> 00:11:29.000 På den andre siden har jeg y(t)*y'(t), så skal jeg dividere x(t) ned. 00:11:29.000 --> 00:11:39.000 Da får jeg y(t), og så deler jeg på x(t). De hører sammen. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:11:39.000 --> 00:11:48.600 Så har jeg y'(t) der borte. Da har vi fått riktig. 00:11:48.600 --> 00:11:56.800 Du blir målt i det øyeblikket den avstanden x(t) = 12 m. Da vet vi at at x(t)=12. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:11:57.500 --> 00:12:07.700 Så vet vi hva du ble målt til, det var at den avstanden der endres med en hastighet på 48 km/t, 00:12:07.700 --> 00:12:15.800 det er y'(t). y'(t) = 48km/t. 00:12:15.800 --> 00:12:24.000 Hvor får vi y(t) fra? Det er dette spesielle tidspunktet, hvor x=12. 00:12:24.000 --> 00:12:29.500 Den er alltid 5, så da kan vi igjen bruke Pytagoras for å finne ut y(t) på akkurat det tidspunktet. 00:12:29.500 --> 00:12:37.800 I dette tidspunktet her er y^2 = 12^2 + 5^2. NOTE Treffsikkerhet: 81% (HØY) 00:12:37.800 --> 00:12:46.750 NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:12:46.750 --> 00:13:02.400 Det er 144, og det er 25. Så det er 144+25=169. y^2=169. Det er et pent tall, vi har flaks nå. 00:13:02.400 --> 00:13:10.000 Har du tullet med tallene, kanskje? Jeg har syklet akkurat sånn at dette blir pent. Det er veldig bra, 00:13:10.000 --> 00:13:16.900 tar hensyn til regneoppgaven når du sykler. Det er ikke alle som gjør det. y(t), tidspunktet vi så på, den er 13. 00:13:16.900 --> 00:13:18.850 NOTE Treffsikkerhet: 84% (HØY) 00:13:18.850 --> 00:13:30.200 Det er flere pene tall her. 48=4*12, da får vi 4 der. Da står vi med 13*4. 00:13:30.200 --> 00:13:46.100 Hva sier du om det da? Ja, det blir litt over 50. Du syklet i 52 km/t, du. Ja, det er ikke så verst. 00:13:46.100 --> 00:13:50.200 Det er litt slingringsmonn på sånne radarer, jeg tror det holder. Pass på litt i framtida. Jeg skal gjøre det. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:13:51.200 --> 00:13:59.300 Vi skal nå se på et problem som handler om koblede hastigheter. Problemet er ikke helt gitt, men vi skal 00:13:59.300 --> 00:14:06.000 studere et fenomen og så definerer vi problemet underveis. Vi ønsker å studere et rektangel som vokser. 00:14:06.000 --> 00:14:16.050 Det har sider 1 cm og 9/16 cm. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:14:16.050 --> 00:14:24.000 Så ønsker vi at dette rektangelet vokser, men slik at forholdet mellom disse sidene bevares. 00:14:24.000 --> 00:14:46.000 Rektangelet vokser, men forholdet mellom sidene bevares. Vi ønsker nå å si noe om 00:14:46.000 --> 00:14:49.550 hvor fort arealet av dette rektangelet øker. NOTE Treffsikkerhet: 89% (HØY) 00:14:49.550 --> 00:14:59.900 Hvis vi har et rektangel med en tid t, så kan vi kalle ene siden for x(t) og den andre siden for y(t). 00:14:59.900 --> 00:15:09.000 Da vet vi ihvertfall at vi har en kobling mellom disse to størrelsene. Den sier nemlig at y(t) = 9/16x(t). 00:15:09.000 --> 00:15:18.950 Denne koblingen/sammenhengen skal gjelde for alle tidspunkt t. NOTE Treffsikkerhet: 85% (HØY) 00:15:18.950 --> 00:15:26.400 Og så var det arealet av dette rektangelet ved tiden t. NOTE Treffsikkerhet: 86% (HØY) 00:15:26.400 --> 00:15:37.900 Det vil jo endres når tiden går. Arealet vil være x(t)*y(t). Ser vi på et bestemt tidspunkt, 00:15:37.900 --> 00:15:44.700 så setter vi inn hva x(t) og y(t) er for dette tidspunktet, og da får vi 00:15:44.700 --> 00:15:48.500 arealet ved dette gitte tidspunkt. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:15:48.500 --> 00:15:55.800 Når vi ønsker å studere hvordan dette arealet endrer seg, så må vi inn med den deriverte. 00:15:55.800 --> 00:16:02.500 Det betyr at vi deriverer denne ligningen som gjelder for alle t. Vi må bruke produktregelen på høyre side. 00:16:02.500 --> 00:16:15.050 Da får vi x(t)*y'(t) + x'(t)*y(t). NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:16:15.050 --> 00:16:30.000 Her har vi da en koblet hastighetsligning. Den sier noe om sammenhengen mellom de ulike hastighetene. 00:16:30.000 --> 00:16:45.300 Da kan man merke seg at for å si noe om hvordan A'(t) endrer seg, så må vi vite x(t) 00:16:45.300 --> 00:16:52.700 ved dette tidspunktet, y'(t), x'(t) og y(t). Vi må ha fire størrelser for å finne den deriverte av A. 00:16:52.700 --> 00:16:54.400 NOTE Treffsikkerhet: 83% (HØY) 00:16:54.400 --> 00:16:59.400 Nå har vi jo i tillegg denne sammenhengen. NOTE Treffsikkerhet: 91% (HØY) 00:16:59.400 --> 00:17:12.200 Den gir oss at y'(t) = 9/16x'(t). Her har vi også en ekstra koblet hastighetsligning. 00:17:12.200 --> 00:17:21.200 Det betyr at egentlig så trenger vi å vite for eksempel x(t). Da kan vi finne y(t), 00:17:21.200 --> 00:17:28.600 og x'(t) så kan vi finne y'(t). Slik kan vi finne A'(t). Da kan vi jo stille oss 00:17:28.600 --> 00:17:49.500 selv et spørsmål. Hvor fort øker arealet hvis x'(t)=1/2 for alle t? 00:17:49.500 --> 00:17:50.800 NOTE Treffsikkerhet: 74% (MEDIUM) 00:17:50.800 --> 00:18:00.100 Det betyr at x, denne siden her, endres med en 1/2 cm for hvert sekund, hvis vi regner tiden i sekunder. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:18:00.500 --> 00:18:11.400 Hvor fort øker arealet hvis dette her er oppfylt? Samtidig ønsker vi å se på et bestemt tidspunkt, 00:18:11.400 --> 00:18:28.800 der for eksempel da x(t)=16. NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:18:29.300 --> 00:18:42.400 Hvis x(t)=16, så vil y(t)=9. Da har vi at y(t)=9, nå valgte vi litt pene tall. 00:18:42.400 --> 00:18:52.800 Hvis x'(t)=1/2, betyr det at y'(t) for alle tidspunkt t er lik 1/2*9/16 = 9/32. 00:18:52.800 --> 00:18:55.050 NOTE Treffsikkerhet: 87% (HØY) 00:18:55.050 --> 00:19:10.300 Da kan vi sette inn hva A'(t) er i dette spesielle tidspunktet, hvor y(t)=9 og x(t)=16. 00:19:10.300 --> 00:19:22.150 Vi får 16 ganger y'(t), 9/32. Pluss x'(t), som er 1/2. Ganger y(t)=9. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:19:22.150 --> 00:19:36.100 Hvis vi forkorter, får vi 9/2 + 9/2 = 18/2 = 9. 00:19:36.100 --> 00:19:46.550 Da får vi 9cm^2/sek vil arealet øke når er y(t)=9 og x(t)=16. NOTE Treffsikkerhet: 90% (HØY) 00:19:46.550 --> 00:19:53.500 Nå ser vi at ved å sette opp en sammenheng som gjelder for alle tidspunkt, og her trengte vi også 00:19:53.500 --> 00:19:59.700 en sammenheng mellom x(t) og y(t) som gjelder for alle t, så kan vi regne ut den koblede hastighetsligningen. 00:19:59.700 --> 00:20:07.400 I dette tilfellet trenger vi fire opplysninger. Men da vil denne ligningen hjelpe oss på vei, 00:20:07.400 --> 00:20:17.300 for å kunne si noe om hvordan A'(t) er i et bestemt tidspunkt. 00:20:17.300 --> 00:20:23.100 Dette kan vi gjøre for andre tidspunkter, bare vi bestemmer oss for noen av disse verdiene som inngår. 00:20:23.100 --> 00:20:24.500