I dette prosjektet skal jeg studere topologiske dynamiske systemer: konfigurasjoner av punkter som utvikler seg over tid i henhold til en fast regel. Det viktigste kjennetegnet er kontinuitet: hvis to tilstander starter veldig likt, forblir de like etter regelen er anvendt, det er ingen plutselige hopp. Dette kan høres abstrakt ut, men mange kjente situasjoner passer inn i dette bildet. Eksempler er hvordan en væske blandes når du rører i den, eller hvordan en populasjon endrer seg fra en sesong til den neste.
Fordi slike systemer forekommer i mange forskjellige former, er det nyttig å ha ett enkelt matematisk språk som kan beskrive dem alle. I dette prosjektet er det gruppoider som utgjør dette felles språket. En gruppoide er en måte å organisere symmetrier og «tillatte bevegelser» innenfor et system på. I motsetning til en gruppe, hvor hvert par av bevegelser kan kombineres, tillater en groupoide delvis kombinasjon: du kan bare komponere bevegelser når de faktisk passer sammen. Denne fleksibiliteten gjør gruppoider godt egnet for dynamiske systemer, hvor symmetrier ofte avhenger av hvor du befinner deg i systemet.
Mitt fokus vil være å beregne invarianter, det vil si størrelser som forblir de samme selv når systemet transformeres på bestemte måter.
Jeg vil studere invarianter fra to komplementære synsvinkler. I den første behandles dynamiske systemer ved hjelp av ideer fra kvanteteorien, hvor nøkkelstørrelser ikke nødvendigvis kommutererer, noe som gjenspeiler den type atferd som er forbundet med Heisenbergs uskarphetsrelasjon. I den andre bruker jeg verktøy fra topologi, som studerer hva som forblir uendret når objekter deformeres jevnt, for eksempel ved bøying eller strekking uten å rive.
Det er verdifullt å beregne disse invariantene fordi det kan avdekke mønstre og begrensninger som er felles for hele familier av dynamiske systemer, slik at vi kan forstå og forutsi deres atferd på et bredt strukturelt nivå i stedet for fra tilfelle til tilfelle.
Background
- Crainic, M.; Moerdijk, I. A homology theory for étale groupoids. J. Reine Angew. Math. 521, 25-46 (2000).
- Davis, J. F., Lück, W. Spaces over a category and assembly maps in isomorphism conjectures in K- and L-theory. K-Theory 15, No. 3, 201-252 (1998).
- Matui, H. Homology and topological full groups of étale groupoids on totally disconnected spaces. Proc. Lond. Math. Soc. (3) 104, No. 1, 27-56 (2012).
- Meyer, R., Nest, R. The Baum-Connes conjecture via localisation of categories. Topology 45, No. 2, 209-259 (2006).
