Om prosjektet
Abelsk grupper er et grunnleggende begrep fra algebra, som består av en mengde elementer sammen med en «addisjon» (og subtraksjon) operasjon som tilfredsstiller de forventede lovene for addisjon av vanlige tall, for eksempel assosiativitet og kommutativitet. Topologiske rom er et grunnleggende begrep fra topologi, som består av en mengde elementer sammen med et begrep om «lukkethet» som gjør det mulig å utføre en svært generell type geometri. For eksempel kan man studere hvordan disse rommene kan deformeres og/eller flyttes rundt i hverandre, i et underfelt av topologi kalt homotopiteori.
Rundt 1960-tallet førte forsøk på å forstå homotopiteori gjennom mer algebraiske midler til oppdagelsen av såkalte spektra og feltet stabil homotopiteori. Grovt sett er et spektrum en slags topologisk rom som samtidig har strukturen til en abelsk gruppe. Man må være svært nøye med å definere dette riktig: Lovene om assosiativitet og kommutativitet fra abelske grupper må bare gjelde opp til homotopi, i en viss «koherent» forstand. Hvis man i stedet krever at de skal gjelde strengt, får man et annet begrep fra algebra, såkalte kjede-komplekser.
Kjedekomplekser og abelske grupper (hvis de er tilstrekkelig små) kan manipuleres med datamatematiske systemer. Selv om det er lagt ned mye arbeid i beregninger innen stabil homotopiteori, kan spektra ikke kodes på samme måte i datamaskiner, da problemet er at selv de minste spektra har uendelig mange elementer hvis vi prøver å kode dem direkte på den måten som er skissert ovenfor. I dette prosjektet har vi som mål å utvikle detaljene i en annen tilnærming til spektra, ved å kode dem som kjede-komplekser med en ekstra «ikke-lineær» struktur, med det endelige målet å utvikle en datamatematisk implementering som er nyttig for anvendelser i stabil homotopiteori.
Måler
Objectives
- Siden (konnektive) spektra er komonadisk over (den konnektive) derivert kategorien av abelsk grupper, vi konstruerer en algebraisk og beregningsmessig effektiv modell av spektra, som kjedekomplekser med en koalgebrastruktur over en (homotopikoherent) komonad, som er en form av Eilenberg-MacLane sin Q-konstruksjon.
- Utvikle datamatematisk programvare for å arbeide med endelig spektra.
- Bruke den for å tabulere lavdimensjonale fenomener i stabil homotopiteori.
