Transportligninger er en type partielle differensialligninger som brukes til å modellere bevegelse og spredning av størrelser som masse, energi eller kjemiske stoffer i et medium. Disse ligningene tar hensyn til hastighetsfeltet, som beskriver retning og hastighet av bevegelsen i mediet. Ved å inkludere stokastiske elementer i disse modellene, kan vi ta høyde for tilfeldige påvirkninger eller støy som oppstår i systemet. Dette er avgjørende fordi mange naturlige og industrielle prosesser er utsatt for uforutsigbare faktorer, som kan ha innvirkning på deres dynamikk. Prosjektet fokuserer på gradientstøy, hvor hastighetsfeltene påvirkes av støy. Dette muliggjør energibevarende løsninger, noe som er ønskelig i fluidmekanikk. Energibevaring refererer til prinsippet om at den totale energien i et lukket system forblir konstant over tid, selv om den kan endre form. Konvensjonelle tilnærminger legger til såkalt Itô støy i kildeledd, noe som kontinuerlig tilfører energi. Gradientstøy krever avanserte matematiske verktøy for å håndtere dens komplekse påvirkning på systemene. Vi bruker Stratonovich- og Marcus-type fluktuasjoner for å representere denne støyen i hastighetsfeltene til transportligningene. Prosjektet har som mål å utvikle nye matematiske og numeriske teorier for å håndtere de spesifikke utfordringene som gradientstøy medfører. Vi fokuserer på å forstå superkritiske transportligninger, ikke-lineære bølgeligninger, og kompressibel Navier-Stokes ligninger. Viktige spørsmål er:
- Har disse stokastiske ligningene en løsning?
- Er løsningen entydig?
- Er løsningen stabil ved endringer i inngangsdataene?
- Hvordan kan løsningen beregnes numerisk?
