Prøveforelesning
Se prøveforelesningBedømmelseskomité
Professor Michael Röckner, Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld
Professor Marta Sanz-Sole, Facultat de Mathematiques, Universitat de Barcelona
Professor Tom Lindstrøm, Matematisk institutt, Universitetet i Oslo
Leder av disputas: Professor Paul Arne Østvær
Veileder: Fred E. Benth, Juergen Potthoff og Giulia Di Nunno
Sammendrag
For many people the behaviour of stock prices may appear to be unpredictable. The price dynamics seem to exhibit no regularity. Although it might be hard to believe, mathematicians and physisists have managed to explain this behaviour via functions whose characteristics match those of the observed phenomena. In mathematics we model such curves with stochastic equations (driven by stochastic processes). They describe chaotic behaviour and can be used to produce computer simulations. The (standard) theory is quite well known and established. However, when one studies more complex financial markets and products, the complexity of the stochastic equations increases considerably. As an extension to the text-book theory, one could devise models in more than one dimension. Eventually this would lead to the notion of stochastic equations taking values in some function space (stochastic partial differential equations) or random fields.
The simulation of stochastic partial differential equations is the main contribution of this work. We show convergence of discretizations as the simulation becomes more precise. We introduce as well possible applications like forward pricing in energy markets, or hedging against weather risk due to temperature uncertainty.
A Finite Element Method is used for the discretization. This is a well established numerical method for deterministic problems. When we deal with stochastic equations, however, the world is not smooth and thus the problems become more daunting. In this work we introduce Finite Element Methods for stochastic partial differntial equations driven by different noise processes.
This thesis was done at the Center for Mathematics for Applications at the University of Oslo.
Norsk oversettelse av autorisert oversetter Fred the translator Benth:
For mange synes aksjekurser å være upredikerbare. Prisedynamikken ser ut til å ikke ha noen regularitet. Selvom det kan synes vanskelig å tro på, så har matematikere og fysikere klart å forklare oppførselen via funksjoner som har egenskaper som tilsvarer de man observerer. I matematikk modellerer vi slike aksjekurver med stokastiske likninger (drevet av stokastiske prosesser). De beskriver kaotisk oppførsel og kan bli brukt til å produsere simuleringer på datamskin. Standardteorien er velkjent og etablert.. Men når man studerer mer komplekse finansmarkeder og produkter, øker kompleksiteten til til de stokastiske likningene. Som en utvidelse av standard tekst-bok teori, kan man utlede modeller i mer enn en dimensjon. Dette vil lede til stokastiske likninger som tar verdier i et funksjonsrom (stokastiske partielle differensiallikninger eller stokastiske felt).
Simulering av stokastiske partielle differensiallikninger er hovedbidraget i denne avhandlingen. Vi viser konvergens av diskretiseringer når simuleringene blir mer presise. Vi introduserer dessuten mulige anvendelser som forwardprising i energimarkeder eller sikring mot værrisiko som kommer fra usikkerhet i temperatur.
En endelig elementmetode er brukt til diskretisering. Dette er en velkjent numerisk metode for deterministiske problemer. Når vi studerer stokastiske likninger, er ikke verden glatt og problemene blir mer kompliserte. I denne avhandlingen introduserer vi endelig elementmetoden for stokastiske partielle differensiallikninger drevet av forskjellige støyprosesser.
Avhandlingen er skrevet ved Center for Mathematics for Applications, Universitetet i Oslo.
Kontaktperson
For mer informasjon, kontakt Marie Wennesland.