Cadillacs of Calculus

Jeg er ikke lenger helt sikker på hvem som sa det, eller hva han sa det om, men da en av mine venner refererte til en bok som "the Cadillac of Calculus", skjønte jeg i det minste hva han mente. Jeg vet ikke hvordan det er nå for tiden, men da jeg vokste opp, var Cadillac verdens nest fineste bilmerke. Det aller fineste var Rolls-Royce, men en Rolls var mer en idé enn en bil - spesielt fordi ingen av oss hadde sett en. Riktignok hendte det at noen påstod de hadde, men da var vi andre raskt ut med å påpeke at det sikkert bare var en Bentley. Cadillac'er visste vi derimot om. I byen der jeg vokste opp, var det to av dem, og universet utvidet seg noen centimeter hver gang en av dem kjørte forbi.

Hva er så "the Cadillac of Calculus"? Den første kandidaten må være Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes utgitt av Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hospital, i 1696. Selv om den bare dekker differensialregning, regnes den gjerne som den første lærebok i matematisk analyse noensinne. Det store spørsmålet er hvem som egentlig skrev den. Markien hadde ansatt en av tidens største matematikere, Johann Bernoulli, som en slags huslærer, og han hadde også sikret seg retten til å bruke Bernoullis resultater. Mange har ment at Johann Bernoulli faktisk skrev Analyse des Infiniment Petits, men nyere forskning tyder på l'Hospital forfattet den selv basert på det han hadde lært av Bernoulli, noe han for øvrig gjør klart rede for i forordet. Sannsynligvis var l'Hospital akkurat det samme som mange senere matematikkforfattere - en fremragende formidler av andres ideer.

På grunn av striden mellom Newtons og Leibniz' tilhengere faller lærebøkene på 1700-tallet inn i to tradisjoner som nesten ikke hadde kontakt med hverandre, en britisk og en kontinental. Forfatterne i den britiske tradisjonen viste omtrent like mye fantasi i tittelvalget som moderne kalkulusforfattere - dagens bøker heter gjerne Calculus and Analytic Geometry og datidens A Treatise of Fluxions.  Dette er tittelen på Charles Hayes' bok fra 1704 og på Colin Maclaurins fra 1742. Størst oppfinnsomhet viste Thomas Simpson da han i 1737 utga A New Treatise of Fluxions.

Den første kontinentale læreboken som behandlet både integral- og differensialregning, var Maria Agnesis Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana. Maria var datter av en rik silkekjøpmann i Milano. Hun ble ansett som et vidunderbarn og fikk de beste privatlærerne faren kunne skaffe. Ni år gammel utga hun en avhandling på latin om kvinners rett til utdannelse. Etter morens død fikk Maria hovedansvaret for oppdragelsen av sine etter hvert 20 søsken (faren giftet seg to ganger til). Instituzioni analitiche ble utgitt i 1748, og to år senere ble Maria tibudt et matematikkprofessorat ved Universitetet i Bologna. Hun tiltrådte aldri stillingen, og etter farens død i 1752 trakk hun seg tilbake og viet seg til teologiske studier og veldedighetsarbeid. Instituzioni analitiche ble oversatt til både fransk og engelsk, og ble lenge regnet som den beste læreboksfremstillingen av matematisk analyse.

Maria Agnesis bok var hovedsakelig tenkt til undervisning og opplysning - "til nytte for italiensk ungdom". Tidenes mest produktive matematiker, Leonhard Euler, tenkte nok både på undervisning og forskning da han skrev sitt store trebindsverk om matematisk analyse fra 1748 til 1770. Trebindsverk er for øvrig å ta litt svakt i. Først bind, Introductio in analysin infinitorum fra 1748, holder seg riktignok innenfor to permer, men annet bind, Institutiones calculi differentialis fra 1755, måtte spres over to bøker, og tredje bind, Institutionum calculi integralis fra 1768-70, over tre. Fra vårt ståsted er det kanskje det første bindet som er mest interessant. Introductio in analysin infinitorum er det man i dag kanskje ville kalle en "pre-kalkulusbok", en innføring i den delen av algebra og funksjonslære som leder opp til differensial- og integralregning. Innholdet er imidlertid et helt annet enn det man finner i tilsvarende bøker i dag. Introductio er først og fremst en innføring i uendelig rekker med spesiell vekt på hvordan de kan brukes til å definere og studere transcendente funksjoner. Utgangspunktet er ikke Taylor-rekker (det ville kreve kjennskap til derivasjon), men binomiske rekker som Euler knar og vender på til de gir fra seg de mest oppsiktsvekkende resultater. Ikke alltid i henhold til moderne tanker om stringens og konsistens, men likefullt virtuost.

Den franske revolusjon brakte med seg nye tanker om utdanning. École Polytechnique ble grunnlagt i 1794 (i stor grad gjennom anstrengelsene til matematikeren Gaspard Monge) for å utdanne ingeniører og vitenskapsmenn for den nye staten. Utdanning av hundretalls ingeniører stilte andre krav til undervisningsmetoder og lærebøker enn de tradisjonelle universitetsstudiene. En av de nye lærebøkene var Augustin Louis Cauchys Cours d’analyse de l’École Polytechnique. Cauchy var ingen strålende foreleser, og hans nye bok ble møtt av protestskriv fra studentene, men faglig sett var den et gjennombrudd for en mer stringent presentasjon av matematisk analyse. Selv om Cauchy fortsatt bruker uendelige små størrelser i definisjonene, inneholder noen av bevisene hans epsilon-delta-argumenter av den typen vi kjenner i dag. Integralet ble definert gjennom trappesummer og ikke gjennom anti-derivasjon som hadde vært vanlig tidligere.

Den matematikeren som først og fremst tok Cauchys ideer videre, var Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. "Stringens i Weierstrass' forstand" ble etter hvert et begrep blant matematikere, men selv om Weierstrass hadde en enorm innflytelse som universitetslærer, skrev han aldri en systematisk sammenfatning av sine ideer. Det ble isteden Camille Jordan som med sin Cours d'analyse de l'École Polytechnique (først utgitt i tre bind fra 1882 til 1887) skulle bringe de nye ideene ut til et større publikum. Jordan verk er mye mer enn en grunnleggende lærebok - det går langt inn i teorien for kompleks analyse og ordinære og partielle differensialligninger. Verket kom til å danne skolen for en hel rekke franske Cours d'analyse.

En av dem som leste Jordans verk med begeistring, var den engelske matematikeren G.H. Hardy. Hardy var oppgitt over den konservative holdningen til matematikk i Oxford og Cambridge, og lette etter måter å fornye matematikkundervisningen på. Jordans verk ble en viktig inspirasjon for hans egen A Course in Pure Mathematics som kom i ti utgaver fra 1908 til 1952. Selv om Hardys bok er inspirert av Jordans verk, virker den i dag mye mer moderne. Hos Jordan finner man fortsatt definisjoner av typen "man gir navnet uendelig liten til enhver variabel størrelse som nærmer seg null", men hos Hardy er alle rester av infinitesimalteorien borte.

Som tittelen sier, er Hardys bok en innføring i ren matematikk - han forkynte stringensen evangelium som "a missionary talking to the cannibals" ifølge kollegaen og samarbeidspartneren J.E. Littlewood. Richard Courant hadde et annet utgangspunkt for sin Differential and Integral Calculus (først utgitt på tysk i 1924). Ifølge forordet er hans mål å "exhibit the close connexion between analysis and its applications and, without loss of rigour and precision, to give due credit to intuition as the source of mathematical truth." Courant var David Hilberts medarbeider på kjempeverket Methoden der Mathematischen Physik (som ga en samlet fremstilling av det matematiske grunnlaget for kvantemekanikken før kvantemekanikken var oppfunnet!), og han hadde en helt annen innfallsvinkel til matematikkfaget enn Hardy. Han hadde også et helt annet publikum i tankene. Mens Hardy skrev for studenter "whose abilities reach or approach something like what is usually described as 'scholarship standards' ", skrev Courant for "anyone who, having passed through an ordinary course of school mathematics, wishes to apply himself to the study of mathematics or its applications in science or technology, no matter whether he is a student of a university or a technical college, a teacher or an engineer".

Demokratiseringen av matematikkfaget fortsatte etter annen verdenskrig. Masseutdanning stilte nye krav til lærebøker, og det blir ofte sagt at den første amerikanske calculus-boken som tok de nye kravene på alvor, var G.B. Thomas Calculus with Analytic Geometry. Den ble først utgitt i 1951, og selv om Thomas døde i 2006, kommer den stadig i nye utgaver med diverse medforfattere. Boken til Thomas har utvilsomt vært med å utforme en slags kalkulus-kanon som nesten alle amerikanske bøker holder seg til - med små variasjoner presenterer de det samme materialet i samme rekkefølge. Som dagens biler ser de alle ut til å ha vært testet i den samme vindtunnelen.

*****

Det er kanskje på tide å vende tilbake til spørsmålet: Hva er "the Cadillac of Calculus"? Ingen vil nok finne på å nominere Thomas' bok - den er blitt et offer for sin egen suksess, og med alle etterligningene er det ikke lenger mulig å se den originaliteten som en gang lå i den. Holder vi oss i bilhistorien, er den en T-Ford og ikke en Cadillac. Skal vi være helt ærlige, er vel heller ingen av de andre omtalte bøkene kvalifisert; de er ikke "calculus-bøker" i moderne forstand, men innføringsbøker i matematisk analyse skrevet for en annen tid og et annet publikum. Noe av det samme gjelder dagens innføringsbøker i matematiske analyse innenfor andre tradisjoner som den tyske, fransk og engelske - de er skrevet for en smalere og mer utvalgt studentgruppe enn den som typiske calculus-bøker henvender seg til

Ser vi oss rundt blant dagens bøker, er det to som ofte nevnes som et nivå over de andre. Den første er en gammel kjenning for oss som studerte ved norske universiteter for 40 år siden: Tom M. Apostols tobinds Calculus, først utgitt i 1961, men best kjent gjennom annenutgaven fra 1967. Det er ikke bare innholdet som skiller denne boken fra vanlige calculus-bøker (den inneholder blant annet et fullverdig kurs i lineær algebra og innføringer i sannsynlighetsteori og numerisk analyse), men også nivået og skrivestilen - den er atskillig mer teoretisk og akademisk enn andre bøker i sjangeren og har færre eksempler og rutineoppgaver enn det som nå er vanlig. Isteden ligger vekten på teori, sammenheg og forståelse. Boken ser mer krevende ut i dag enn for førti år siden - sannsynligvis fordi omgivelsene har endret seg - og det er ikke så overraskende at den ikke ble en suksess da Universitet i Bergen prøvde å gjeninnføre den på 1990-tallet. For gode og motiverte studenter er den imidlertid fortsatt en gullgruve.

Apostols bok er skrevet for vanlige studenter og vanlige kurs, og den ble brukt på den måten - også i Norge - i mange år. Den siste boken vi skal se på, Michael Spivaks Calculus, var nok aldri ment for ordinære studenter, men er rettet mot amerikanske honors classes. Den behandler bare funksjoner av én variabel, men inneholder stoff man sjelden ser i calculusbøker, som et bevis for at e er transcendent. Først setning i forordet sier sitt: "Every aspect of this book was influenced by the desire to present calculus not merely as a prelude to but as the first real encounter with mathematics".

Som sagt husker jeg ikke lenger hvilken bok min venn omtalte som  "the Cadillac of Calculus", men det var enten Apostols eller Spivaks. Leserne kan jo selv ta en titt på bøkene for å finne ut hvilken som er tittelen mest verdig.