Betafordelingen

Betafordelingen er en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling definert i intervallet [0,1] og av to formparametre (α,β). Betafordelingen er e.g. brukt i fordeling av konjugert prior i Bayesiansk inferens 

Betafordelingen X~Beta(α,β) har to formparametere alfa og beta ((α,β)) >0 og sannsynlighetstetthetsfunksjon f(x):

\(f(x)= \displaystyle\frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}x^{\alpha - 1}(1-x)^{\beta - 1}\;\;\;\;\;\, 0 \leq x \leq 1\)

Arealet under alle sannsynlighetstetthetsfunksjoner er lik 1, integrert over hele sannsynlighetsområde. Hvis α=β så blir fordelingen symmetrisk rundt 1/2, og hvis det er forskjellige formparametre blir fordelingen skjev. De to formparametre kalles alfa(α) (formparamter 1, "shape 1") og beta (β) (formparameter 2, "shape 2").

Betafordelingen er beregnet for data modellert som proporsjoner, og legg merke til at x er mellom 0 og 1. Brukes mye innen Bayesiansk statistikk. Gjennomsnitt (forventning E(X)) og varians Var(X) for betafordelingen er gitt ved:

\(E(X)=\displaystyle\frac{\alpha }{\alpha + \beta}\;\;\;\;\; Var(X)= \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}\)

Betafordelingen

Sannsynlighetstetthetsfunksjonen for alfa= 2 og forskjellige verdier av formparamter beta (β).

Betafordelingen kumulativ sannsynlighet

Kumulativ sannsynlighet for betafordelingen med formparametre alfa= 2 (α)  og forskjellige verdier av beta (β). Arealet under sannsynlighetstetthetsfunksjoner er lik 1 integrert over hele sannsynlighetsområdet. 

Betafordelingen

Sannsynlighetstetthetsfunksjonen for betafordelingen med  forskjellige verdier av formparametrene alfa (α) og beta (β). Når α=β blir fordelingen symmetrisk. Den store fleksibiliteten for sannsynlighetstetthetsfunksjoner gjør den velegnet til mange formål. 

Betafordelingen kumulativ sannsynliget

Kumulativ sannsynlighet for betafordelingen med de samme parameterverdier som sannsynlighetstetthetsfunksjonen vist i figuren foran. 

Litteratur

R Development Core Team (2011). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing,  Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org/

Tilbake til hovedside

Publisert 6. mars 2020 11:40 - Sist endret 11. mars 2020 08:37