Bernoulli lemniskate
Lemniskate (gr. lemnikos – bånd) viser en liggende 8-tallskurve og ble bl.a. studert av Jakob Bernoulli. Lemniskate er en fjerdegradsligning, en funksjon som ga lemniskate ble undersøkt av Jakob Bernoulli (1694) med den kartesiske ligningen:
\((x^2 + y^2)^2= a^2(x^2 - y^2)\)
De parametriske ligningene for lemniskate er:
\(x = \frac{a\cos t}{1+\sin ^2 t}\)
\(y= \frac{a\sin t\cos t}{1+\sin ^2 t}\)
Lemniskate for a=1 som også ligner på symbolet for uendelig
Det er samme resonnement hvor sirkelen med radius r har den kartesiske formel:
\(x^2 + y^2 = r^2\)
\(x= r \cos t \)
\(y= r\sin t\)
Det viste seg at Bernoulli-lemniskate er en form av Cassini ovaler, beskrevet av Jacques Cassini ifm. med planetbevegelser.
Funksjonen:
\(x= \cos (at)\)
\(y= \sin(bt)\)
Funksjonen x=cos(a∙t) og y=sin(b∙t) for a=b=1 (blå,sirkel), a=1;b=2(rød, lemniskate), a=1,b=3 (grønn) for t=0-2π.
Euler og Gauss målte buelengden på ellipser og buer bl.a. lemniskate hvor lengden av buen er summering av linjesegmenter langs buen. Dette førte videre fram til den inverse funksjonen av elliptiske integraler, og videre til elliptiske funksjoner i kompleks analyse.
Buelengden s for en Bernoulli-lemniskate med avstand mellom fokalpunktene lik 2 (a=1) og Γ er gammafunksjonen:
\(s=2c\displaystyle\int_ 0^1(1-t^4)^{-\frac{1}{2}}dt= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\right]^2= 5,2441151086 \dots\)
Lemniskatekonstanten L
\(L= \frac{1}{2}s\)
Geronolemniskate
Gerono-lemniskate ble studert av Camille-Christophe Gerono (1799-1881) med formel:
\(x^4-x^2 + y^2 =0\)
med parametriske ligninger:
\(x= \cos t\)
\(y= \sin t \cos t\)
Gerono-lemniskate
Andre eksempler er Booth-lemniskate (l. hippopede – hestefot) hvor c=0.5 tilsvarer Bernoulli lemniskate:
\((x^2 + y^2 )^2+4y^2= 4c(x^2 + y^2)\)