En sykloide dannes av en sirkel med radius r som danner en tangent til x-aksen. Hvis P er et punkt på sirkelen så følger punktet P en sykloide når sirkelen ruller langs x-aksen. Ta et hjul, sett et punkt P på hjulet og rull det bortover bakken. Punktet P vil nå beskrive en sykloide. Sykloiden dannes av koordinatene (x,y) i parameterform:
\(\displaystyle x= r(t - \sin (t))\)
\(\displaystyle y= r(1- \cos (t))\)
En bue av sykloiden får vi ved 0 ≤ t ≤2π
Sykloide buer i Kimbell Art Museum i Texas, arkitekt Louis Kahn. Hopkins center, Hanover, New Hampshire.
Vi kan betrakte sykloiden beskrevet av:
\(\displaystyle r(t)= \left[ r(t - \sin(t)), r(1-\cos(t))\right]\)
Den deriverte blir tangenten er lik diagonalen i parallelogrammet (r,0) og (-r∙cos(t),r∙sin(t):
\(\displaystyle r(t)= \left [r(1-\cos(t)), r(sin(t)\right]\)
Vi kan finne den deriverte dx/dt:
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}= r(1-\cos(t))\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}= r(\sin(t))\)
Giles Persone de Roberval kunne i 1634 vise at arealet under sykloiden er tre ganger arealet til sirkelen som lager sykloiden. Roberval skjønte intuitivt av tangenten representerte en bevegelse. Arealet A under en av buene er:
\(\displaystyle \int_0 ^{2\pi} y \;dx= \int_0^{2\pi}r^2(1-\cos(t))^2\; dt= 3\pi r^2\)
Christopher Wren viste i 1658 at lengden av sykloiden er fire ganger diameteren til sirkelen som lager sykloiden.
Lengden S av sykloiden ved å integrere hypotenusen i små trekanter hvor lengden er lik kvadratroten av summen av kvadratene av de to sidene i trekanten (Pythagoras):
\(\displaystyle S=\int_0 ^{2\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^ 2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^ 2}\; dt= \int_0 ^{2\pi}\sqrt{\left( (r\sin(t))^2 + (r(1-\cos(t))^2\right)}\; dt= \int_0^{2\pi}2r\sin(\frac{t}{2})\; dt= 8r\)
