Generelt har vi et Taylorpolynom med grad n for den n-deriverbare endimensjonale funksjonen f(x) ved x=a gitt som:
\(P_n(x)= f(a) + \displaystyle\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+ \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+ \dots + \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n\)
Hvis a=0 har vi en egen utgave av Taylor-rekken som kalles MacLaurin-rekke:
\(P_n(x)= f(0) + \displaystyle\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}(x)^2+ \frac{f'''(0)}{3!}(x)^3+ \dots + \frac{f^n(0)}{n!}(x)^n\)
Colin Mac Laurin (1698-1746) skrev Treatise on fluxions (1742) som omhandlet fluksjonsregning og rekkeutvikling av funksjoner; inspirert av Brook Taylor, ), Newtons etterfølger, og hans Methodus incrementorum directa et inversa (1715) med Taylors formel, rekkeutvikling og differensialregning.
Taylorpolynomer og feilanalyse
Enhver approksimasjon vil være beheftet med feil (error):
\(\text{Feil}= \text{Sann verdi } - \text{Approksimert verdi}\)
Mange ganger finner man ikke eksakte løsninger fra funksjoner, men må klare seg med tilpassete løsninger som blir riktige innen toleransegrenser for feil. Tangenten til en funksjon y=f(x) ved punktet x=a viser hvordan grafen oppfører seg nær punktet (a,f(a)).
I numerisk analyse kan man bruke enkle funksjoner, vanligvis polynomer (Pn), som tilpasning (approksimasjon) til en gitt funksjon f(x) ved punktet x=a. I sin enkleste form kan vi lage en lineær tilpasning med et polynom av første grad (P1), som blir lik tangentlinjen:
\(\displaystyle P_1(x)= f(a)+ f'(a)(x-a)\)
hvor vi har samme funksjon og derivert:
\(P_1(a)=f(a)\;\;\;\;\;\;\, P_1'(a)=f'(a)\)
Errorfunksjonen Err(x) eller feilfunksjonen til denne tilpasningen er:
\(Err(x)= f(x) - P_1(x)= f(x)-f(a)+ f'(a)(x-a)\)
og feilen blir minst når x er i nærheten av a.
Minner om definisjonen av den deriverte, som er lik tangenten og sier noe som stigningen til kurven i tangeringspunktet::
\(\displaystyle f'(a)= \lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
noe som gir tilnæringen hvor x ligger nær a:
\(\displaystyle f'(a) \approx \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
\(f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)\)
En bedre tilpasning får vi med et polynom av andre grad:
\(\displaystyle P_2(x)= f(a) + f'(a)(x-a)+ \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2\)
Generelt har vi et Taylorpolynom med grad n for den n-deriverbare funksjonen f(x) ved x=a gitt som vist over. Som nevnt finner man ofte ikke eksakte løsninger, men nedenfor er det brukt eksempler med kjente funksjoner som viser prinsippet for Taylorpolynomer.
Taylorpolynom for kvadratrotfunksjon
Vi skal finne Taylorpolynomet grad 2 for kvadratrotfunksjonen ved a=2, og ser at vi får ganske god overensstemmelse med polynomtilnærmingen. Nøyaktigheten ville ha økt med økende grad for Taylorpolynomet.
\(\displaystyle f(x) = \sqrt{x}= x^{\frac{1}{2}}\)
Taylorpolynom for logaritmefunksjon
Vi skal sammenligne Taylorpolynom av grad 2 og grad 3 for funksjonen ved x=1:
\(f(x)= \ln(x)\)
Den førstederiverte f'(x) og den andrederiverte f''(x) for logaritmefunksjonen er henholdsvis:
\(\displaystyle f'(x)= \frac{1}{x}\;\;\;\;\;\;\;\, f''(x)= -\frac{1}{x^2}\)
Taylorpolynom for sinusfunksjon
Vi skal finne et Taylorpolynom av andre grad for a=0.
Hvis vi skal finne et Taylorpolynom av høyere grad er det bare å fortsette å derivere den foregående funksjon. Det går også an å finne den andrederiverte ved å derivere den førstederiverte en gang til osv.
\(f(x)= \sin (x)\)
Den førstederiverte f'(x) og den andrederiverte f''(x) for sinusfunksjonen er henholdsvis:
\(\displaystyle f'(x)= \cos x\;\;\;\;\;\;\;\; f''(x)= -\sin x\)
Figuren viser feilen err(x) i Taylorpolynomet for a=0 og x=1.
For en lineær approksimasjon så vil et estimat av feilfunksjonen E(x) for en lineær tilpasning være:
\(\displaystyle Err(x)= \frac{f''(x)}{2}(x-a)^2\)
Plotter feilfunksjonen err(x) for x=[-1,1], a=0. Vi ser at feilen blir liten når x er nær a=0, men når x>0.5 og x<-0.5 så øker feilen. Det er det samme vi ser på den forrige figuren.
Generelt er feilfunksjonen err(x) for Taylorpolynom Tf(x) for en gitt funksjon, hvor fn+1 er n+1 deriverte av f
\(\displaystyle Err(x)= f(x)- T_f(x)= \frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}\left(x-a\right)^{n+1}\;\;\;\;\;\;a<c<x\)