Trigonometri

Trigonometri (gr. trigonon - tre vinkler, metro - måling) er trekantberegninger, forholdet mellom vinkler og sider i en rettvinklet trekant.

Hvis vi har en rettvinklet trekant med hypotenus c (den lengste kanten) og to kateter (a og b) med vinkel alfa (α) har vi følgende definisjoner for sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tan), kotangens (cot), secans (sec) og kosecans (sec). Hvis trekanten nedenfor tegnes på en kule for eksempel et appelsinskall har vi sfærisk trigonometri som benyttes innen navigasjon og astronomi.

Rettvinklet trekant

\(\sin \alpha =\frac{a}{c}= \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}\)

\(\cos \alpha =\frac{b}{c}= \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}\)

\(\tan \alpha =\frac{a}{b}= \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katat}}\)

\(\cot \alpha= \frac{b}{a}\;\;\;\;\; \sec \alpha=\frac{c}{b}\;\;\;\;\; \)

For en rettvinklet trekant har vi Pythagoras setning:

\(a^2 + b^2 = c^2\)

Pythagoras

En vinkel kan måles i grader (o) eller som buemål i radianer.

Vinkelen mellom to vinkelbein, som også er en del av en sirkel med radius r, uttrykt i radianer blir:

\(\frac{\text{buelengde (b)}}{\text{radius (r)}}= \text{radian}\)

Hvis vi har en enhetssirkel med radius=1 så er omkrets av sirkelen lik to pi (2π) radianer). Buelengden blir omkretsen av hele sirkelen (2πr):

\(\frac{b}{r}=\frac{2\pi r}{r}= 2\pi \;\text{radianer}\)

Den greske bokstaven pi (π) brukes til å betegne forholdet mellom omkretsen til en sirkel (sirkelperiferi) og diameteren til sirkelen. Pi (π) er et irrasjonalt og transcendentalt tall (π=3.145926535…).

En omdreining av sirkelen er lik radianer som er lik 360o. For en vinkel α så blir den tilsvarende buen (arc) i radianer lik:

\(arc \;\alpha= 2\pi \frac{\alpha }{360^o}\)

Liksidet trekant

Hvis vi har en likesidet rettvinklet trekant vil de to andre vinklene i trekanten være lik 45o=π/4.

Vi får fra Pythagoras:

\(a^2 + a^2 = c^2 = 2a^2\;\;\;\;\; \implies \;\; c= a\sqrt{2}\)

For 45o får vi:

\(\cos \frac{\pi}{4}= \frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

For sin(π/4) får vi tilsvarende.

Vi kan ha en annen rettvinklet trekant men hvor a=c/2 og b≠a, så får vi en vinkel lik 60o=π/3

Vi får da:

\(\left(\frac{c}{2}\right)^2+ b^2 = c^2 \;\;\;\;\; \implies\; b^2 = c^2 - \frac{c^2}{4}\;\;\;\; \implies \; b= \frac{\sqrt{3}}{2}c\)

Vi gjentar en gang til, men har variert navn på vinkelen,nå theta:

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant med vinkel theta (θ), hosliggende og motstående katet, og hypotenus.

\(\sin \theta= \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}\;\;\; \cos \theta= \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}\;\;\;\tan \theta= \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}\;\;\;\)

Huskeregel: Hosliggende er kos. (fritt fram for egne vovete varianter)

Likesidet

Rettvinklet trekant med kateter lengde lik 1, og likesidet trekant med sidelengde lik 2.

For en rettvinklet trekant med kateter med lengde 1 så blir hypotenusen lik

\(\sqrt{2}\)

Sinus og cosinus for en rettvinklet trekant med katater lik 1 (legg merke til at vi multipliserer over og under brøkstreken med kvadratroten av 2 ved omregningen i sinus (45o))

\(\sin(45^o)=\sin \left(\frac{\pi}{4} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\;\;\;\;\; \cos(45^o)=\cos \left(\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

og tangens:

\(\tan(45^o) = \tan \left(\frac{\pi}{4} \right)=\frac{1}{1}=1\)

Ved 45o(π/4) er x=y. Vi setter inn i enhetssirklen, en sirkel med radius lik 1

\(x^2 + y^2 = 1\)

som gir:

\(2x^2 = 1\;\;\;\;\; \implies \; x= y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

For en likesidet trekant med lengde 2 blir vinklene 60o (se figuren over), men fra denne kan det lages to rettvinklete trekanter med vinkler 90o, 60o og 30o hvor hypotenusen får lengde 2 og den ene kateten får lengde 1. Vi kan da finne lengden av den andre kateten vha. Pythagoras setning, lik kvadratroten av 3:

\(\sqrt{3}\)

\(\sin(60^o)= \sin \left( \frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\;\;\;\;\cos(60^o)= \cos \left( \frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\)

\(\tan(60^o)= \tan \left( \frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{1}= \sqrt{3}\)

\(\sin(30^o)= \sin \left( \frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\;\;\;\;\; \cos(30^o)= \cos \left( \frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\tan(30^o)= \tan \left( \frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Enhetssirkelen

Enhetssirkelen med radius = 1. Enhetssirkelen er meget praktisk å regne med. 

Hvis vi har punkter på enhetssirkelen P= (a, b)=(cosθ, sinθ), så vil lengden av en vektor (a,b):

\(|(a,b)|= \sqrt{a^2 + b^2}\)

Derved blir lengden av vektoren OP på enhetssirklen hvor (cosθ)2 er dss. cos2θ:

\(\overrightarrow{OP}= \sqrt{(\cos \theta)^2 + (\sin \theta) ^2}= \sqrt{\cos ^2 \theta+ \sin ^2 \theta}= 1\)

Det vil si:

\(\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = 1\)

Euler standardiserte definisjonen av sinus og cosinus basert på en enhetssirkel med radius lik 1. Vinkler kan uttrykkes i grader (o) hvor en omdreining av en radius i sirkelen er 360o. Vi fortrekker å uttrykke vinkler i radianer. 1 radian er vinkelen som gir buelengde lik 1 på enhetssirkelen. Omkretsen til enhetssirkelen er 2π, og en omdreining (mot klokka) av enhetssirkelen tilsvarer derfor 2π radianer.

\(360^o = 2\pi\; \text{radianer (rad)}\)

\(180^o = \pi\; \text{radianer}\)

\(\text{radian}= \frac{360^o}{2\pi}\;\;\;\;\;\;\; 1^o= \frac{2\pi}{360}\;\text{radianer}\)

Hvor mange radianer er 30o?

\(30^o\cdot \frac{\pi \, rad}{180^o}= 0.524 \; rad\)

Vi har at 1 radian tilsvarer 57.3o:

\(1\; rad= \frac{360^o}{2 \pi}= 57.3 ^o\)

Vi foretrekker å beregne sinus og cosinus til et tall, ikke vinkler, i området 0 <x <2π. På figuren nedenfor er sinx=b og cosx=a

Enhetssirkel

Enhetssirklen kan deles inn i fire kvadranter og vi regner mot klokka fra 1. til 4. kvadrant.

Hvis x=π så har vi punktet P=(-1,0) hvor sinπ = 0 og coxπ = -1. Hvis x=π/2 så har vi punktet P=(0,1) hvor sinπ/2 = 1 og cosπ/2 = 0. Vinkel π/2 gir bevegelse mot klokka på enhetssirkelen, -π/2 er den samme vinkel men bevegelse med klokka.  

Vinkelomregning tabell

Sammenheng mellom vinkel målt i grader og den tilsvarende sirkelbuen (arc, l. arcus = bue) målt i radianer. 90o=π/2, 60o=π/3, 45o=π/4, 30o=π/6

Vinkler tabell

 

Cosinusloven

Vi har sinusloven:

\(\sin \frac{A}{a}=\sin \frac{B}{b}=\sin \frac{C}{c}\)

Vi har cosinusloven:

\(a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cdot \cos A\)

\(b^2 = a^2 + c^2 -2ac \cdot \cos B\)

\(c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cdot \cos C\)

Sinus og cosinus

Innen naturvitenskap treffer man ofte på prosesser som følger harmoniske svingninger.

Sinus

Sinusfunksjonen sinx som funksjon av fasevinkel 0-360o (0-2π)

cosinus

Cosinusfunksjonen cosx som funksjon av fasevinkel 0-360o (0-2π)

Sinus og cosinus

Sinus- og cosinus-funksjonen sinx som funksjon av fasevinkel  0 til 4π.

Sinus- og cosinusfunksjoner viser harmoniske svingninger og er faseforskjøvet i forhold til hverandre:

\(\sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right)= \cos (x)\)

\(\sin 0 = 0\;\;\;\;\; \sin \frac{\pi}{2}= 1\;\;\;\;\; \cos 0= 1\;\;\;\;\; \cos \frac{\pi}{2}= 1\;\;\;\;\;\; \sin (-x)= -\sin x\;\;\;\; \cos (-x)= -\cos x\)

\(\sin (x + 2\pi)= \sin x\;\;\;\;\;\cos (x + 2\pi) = \cos x\)

Euler fant standardformlene for addisjon og subtraksjon:

Euler frimerke

\(\sin (x + y) = \sin x\cos y+ \cos x \sin y\)

\(\cos (x+y)= \cos x \cos y- \sin x \sin y\)

\(\cos (x-y) = \cos x\cos y+ \sin x \sin y\)

Følgende formler er også mye brukt:

\(\sin 2x= 2\sin x \cos x\)

\(\cos 2x= \cos^2 x-\sin ^2 x = 1-\sin ^2 x\)

\(\sin x-\sin y= 2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}\)

\(\cos x-\cos y= -2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}\)

Samt halvvinkelformlene:

\(\cos^2 x= \frac{1+\cos 2x}{2}\;\;\;\;\;\;\sin^2 x= \frac{1-\cos 2x}{2}\)

En omdreining av sirkelen er lik radianer som er lik 360o. For en vinkel α så blir den tilsvarende buen (arc) i radianer lik:

\(arc\; \alpha= 2\pi\frac{\alpha}{360^o}\)

De Moivres identitet kunne Euler utlede:

\((\cos x \pm i\sin x)^n= \cos (nx)\pm i\sin(nx) \;\;\;\;\;\;\text{hvor}\; i= \sqrt{-1}\)

Dessuten fant Euler rekkeutvikling for de trigonometriske funksjonene:

\(\sin x= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}+ \dots\)

\(\cos x= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}- \frac{x^6}{6!}+ \dots\)

Euler kunne også vise den berømte sammenhengen mellom eksponentialfunksjon og trigonometrisk funksjon:

\(\cos x= \frac{e^{ix}+ e^{-ix}}{2}\)

\(\sin x= \frac{e^{ix}- e^{-ix}}{2i}\)

Det vil si:

\(e^{\pm ix}= \cos x\pm i\sin x\)

Vi har generelt for en funksjon:

\(f(x) = m + a\cos \left(\frac{2\pi}{n}(x-x_0)\right)\)

Hvor m er middelverdi, a er amplitude, n er periode og x0 er akrofase.

Funksjonen

\(y= 6 + 4\cos \left(\frac{\pi}{2}(x-\frac{1}{2})\right)\)

får følgende grafiske framstilling:

cosinusfunksjon

Tangens

Tangens

Tangens-funksjonen tanx som funksjon av fasevinkel.

Formel for tangens, cotangens, sekant, og cosecant:

\(\tan x= \frac{\sin x}{\cos x}\;\;\;\;\; \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}= \frac{1}{\tan x}\)

\(\sec x= \frac{1}{\cos x}\;\;\;\;\; \csc x= \frac{1}{\sin x}\)

Inverse trigonometriske funksjoner

For å kunne finne den inverse av en trigonometrisk funksjon må vil velge et intervall for sinus- eller kosinusfunksjonen er monotont stigende eller synkende. Den inverse sinusfunksjonen kalles arcsin.

\(x= \arcsin y= \sin ^{-1}y\;\;\;\;\; \implies\;\; y= \sin x \;\; \text{og}\;\; -\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}\)

Inverse trigonometriske funksjoner asin(x), acos(x) og atan(x) gir henholdsvis arcsinus, arccosinus og arctangens.

arcsin

Sinus-funksjonen og den inverse arcsin-funksjonen

I det åpne intervallet [-1,1] kan vi definere den deriverte:

\(\frac{d}{dx}\sin ^{-1}x= \frac{d}{dx}\arcsin x= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

Vi har derfor integralet:

\(\displaystyle\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt= \arcsin x + C\)

arcsin er ikke definert utenfor intervallet [-1,1]

Vi kan gjøre det tilsvarende for arccos og velger nå intervallet [0,π]:

arccos

Cosinus-funksjonen og den inverse arccos-funksjonen.

arctan

Tangens-funksjonen og den inverse arctangens-funksjonen.

Litteratur

Apostol, T.M. Calculus (Vol I + II). Blaisdell Publ. Comp. 1962.

R Development Core Team (2011). R: A language and environment for  statistical computing. R Foundation for Statistical Computing,  Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org/.

Wikipedia

En reise på tusenvis av mil begynner med et skritt.

Lao Tzu.

Nani gigantum humeris insidentes (Dverger står på skuldre til giganter). Bernard fra Chartres.

Der hvor alle tenker likt, tenkes det ikke mye nytt.

Han var nær ved at være en ener, han var et null.      

Tilbake til hovedside

Publisert 17. des. 2019 11:03 - Sist endret 18. des. 2019 09:57