Eksempel på en linær diofantisk ligning er:
\(ax + by= 1\)
Følgende er en diofantisk ligning for n= 2, hvor det finnes uendelige mange Pytagoreiske heltallstripler (x, y, z) som løsninger
\(x^n + y^n= z^n\)
En gammel tradisjon inne matematikk var å finne løsninger av ligninger i form av heltatt. For eksempel Pytagoras setning for et rettvinklet trekalt x2 + y2 =z2 har uendelig mange løsninger som er heltalle.g. Pytagoreiske tripler( 3, 4, 5 er 3²+4²=5² eller 9+16=25. (5, 12, 13),(8, 15, 17),(7, 24, 25, (20, 21, 29) osv
For n>2 finnes det ingen heltallsløsninger (Fermats siste teorem).
Pells ligning, oppkalt etter den engelske matematikeren John Pell:
\(x^2 - ny^2= \pm \;1\)
En annen diofantisk ligning er:
\(w^3 + x^3= y^3+ z^3\)
hvor en av løsningene er taxitallet 1729:
\(12^3 + 1^3= 9^3 + 10^3 = 1729\)
Et annet eksempel er:
\(\displaystyle\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}= \frac{4}{n}\;\;\;\;\; \text{for} \; n\geq2\)
Følgende er en difantisk ligning:
\(x^2 -2y^2= 1\)
Ligningen har endelig mange løsninger [3,2], [17,12], [99,70]. Se den rette linjen på konturfiguren. Hvis vi har funnet en løsning [x,y] så vil den neste løsningen bli: [x’=3x+4y,y’=2x+3y]
Konturplot av ligningene med blå punkter for løsningene angitt over.
En annen difantisk ligning er:
\(x^2 -2y^4= -1\)