Vi definerer den naturlige eksponentialfunksjonen y=ex , hvor e er det naturlige tallet e, slik at følgende uttrykk betyr det samme:
\(y=\displaystyle e^x \;\;\;\;\;\;\; x= \ln(y)\)
Vi har også generelt for eksponentialer:
\(\displaystyle a^x= e^{x\ln a}\)
Man må skille mellom eksponentialfunksjonen f(x)=ax og potensfunksjonen f(x)=xa.
Eksponentialfunksjonen. y= ex, og vi ser at e0=1 det vil si at funksjonen skjærer y-aksen i punktet (0,1). Når x= 1 så blir funksjonen e1= e, og kurven har ved x= 1 koordinatene (1,e).
Vi ser på uttrykket som har grenseverdi e når x går mot 0.
\(\displaystyle e= \lim\limits_ {x \to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}\)
Det naturlige tallet e (Eulertallet) funnet av Leonard Euler (1707-1783) er her skjæring med y-aksen.
\((e^x)^y= e^{xy}\;\;\;\;\;\;e^{x+y}= e^x e^y\;\;\;\;\; e^{-x}= \frac{1}{e^x}\;\;\;\;\;\; e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}\)
Eksponentialfunksjonen har den spesielle egenskapen at den er lik sin egen deriverte:
\(\frac{d}{dx}e^x= e^x\)
\(\int e^x dx= e^x + C\)
Vi kan også lage en annen definisjon av e, hvor funksjonen nærmer seg asymptotisk mot e når n går mot uendelig:
\(\displaystyle c= \lim\limits_{n \to \infty}\left(1+ \frac{1}{n}\right)^n\)
Vi kan lage en grafisk framstilling av den naturlige eksponentialfunksjonen:
\(y= e^x \;\;\;\; \text{og }\;\;\;\, y= e^{-x}\)
Kurvene skjærer y-aksen ved (0,1) siden e0=1.
Leonhard Euler(1707-1783) introduserte logaritmen til x med grunntall a som y=logax slik at ay=x. Euler viste at a0=1 og han innførte et uendelig lite tall Є slik at:
\(a^\epsilon= 1 + k\epsilon\)
Det viser seg at k er en konstant som er avhengig av epsilon (ε). Euler innfører et uendelig stort tall N=x/ε. Deretter kan ax uttrykkes som:
\(\displaystyle a^x= a^{N\epsilon}= \left(a^\epsilon\right)^N= (1+k \epsilon)^N= \left(1 + \frac{kx}{N}\right)^N= \)
\(1+\displaystyle N\left(\frac{kx}{N}\right)+ \frac{N(N-1)}{2!}\left(\frac{kx}{N}\right)^2+\frac{N(N-1)(N-2)}{2!}\left(\frac{kx}{N}\right)^3+ \dots\)
Siden N er uendelig stor blir 1=N/N=(N-1)/N=(N-2)/N osv., og da kan uttrykket over forenkles til:
\(\displaystyle a^x= 1 + \frac{kx}{1!}+ \frac{k^3x^3}{3!}+ \frac{k^2x^2}{2!}+\dots\)
Ved å sette x=1 finner han sammenhengen mellom a og k:
\(a=\displaystyle 1 + \frac{k}{1!}+ \frac{k^2}{2!}+ \frac{k^3}{3!}+ \dots \)
Deretter introduserer Euler det berømte naturlige tallet e for verdien av a når k=1:
\(e= \displaystyle 1 + \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+ \frac{1}{4!}+ \dots \)
Deretter regner han ut tallet e=2.71828182845904523536…
Ut fra dette kan han skrive:
\(e^x=\displaystyle\left(1+\frac{x}{N}\right)^N\)
som også kan skrives som:
\(e^x=\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\)
\(e=\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)
Deretter kan ex med k=1 skrives på den velkjente formen:
\(\displaystyle e^x = 1 + \frac{x}{1!}+ \frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ \dots=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\)
I et lignende resonnement finner Euler rekken:
\(\ln(1+x)= x- \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3- \dots \)
Funksjonen for forskjellige verdier av r:
\(y= x\cdot e^{-rx}\)
Vi plotter y=ax for positive og negative a, og ser at for x=0 skjæres ordinaten ved y=1 fordi a0=1
For a>1:
For 0<a<1:
Den deriverte til en potensfunksjon ax:
\(\left(a^x\right)'= a^x \cdot \ln a\)
Vi plotter noen potensfunksjoner for forskjellige a>1:
y=ax for forskjellige verdier av grunntallet a. Alle kurvene går gjennom (x,y)=(0,1). For a=1 er en rett linje siden 1x=1. Hvis a er lik det naturlige tallet e= 2.718282 har vi eksponentialfunksjonen y= ex som er angitt med den blå heltrukne linjen, som er lik den deriverte funksjonen.
Det naturlige tallet e tilfredsstiller ln(e)=1