Ligningene som beskriver en kompleks harmonisk bevegelse:
\(x= A\sin(at + d)\;\;\;\;\;\; y= B\sin (bt)\)
hvor A og B er amplitude, d er faseforskjell og a/b er relativ frekvens.
Lissajous-kurve med amplituder A=2 og B=3, d=1, a=3, og b=2.
Kurvene ble også undersøkt av den amerikanske matematikeren Nathaniel Bowditch (1773-1838), også kjent for studier av navigasjon på havet (The new american practical navigator). Han oversatte også Pierre-Simon de Laplace Mécanique céleste.
Lissajouskurvene påvirkes mye av forholdet a/b. For a/b= 1 blir kurven en ellipse. Lissajouskurver kan også vises på et oscilloskop. Lissajousfigurer består av to svingninger som står vinkelrett på hverandre. Finnes bl.a. i katodestråleoscilloskoper hvor man kan kontrollere forskjell i fase og frekvens for svingninger. a og b er positive tall og 0<t<2π.
Hvis b er et irrasjonalt tall e.g. 5/3, kvadratroten av to (√2), pi (π) eller det naturlige tallet e blir det aperiodiske svingninger.
Lissajous-kurve med A=B=1, a=6, b= 8, d=0
Lissajous-kurve med A=B=1, a=2, b= π, d=0
Lissajous-kurve medA=B=1, a=2, b= 8, d=0
Den australske kringkastingsunionen ABC er en Lissajouskurve med a<-1; b<-3; d<-pi/2 i sin logo.
Lissajousbaner for satelitter
Lissajousbane for satelitter ved et Lagrangepunkt i et trelegemdesystem hvor satelitten kan bevege seg uten å bruke egen fremdrift, for eksempel Gaia følger Lissajousbane ved Sol-Jord Lagrangepunkt L2. og SOHO med Lissajousbane ved Sol-Jord Lagrangepunkt L1.
Lissajouskurver og Chebyshevpolynomer
Det er relasjoner mellom Lissajouskurver og Chebyshevpolynomer av første slag grad N (N er et naturlig tall, telletall), hvor a=1, b= N og d er
\(d=\frac{N-1}{N}\frac{\pi}{2}\)