Konstruksjon av en regulær n-kant med passer og linjal vil si å plassere hjørnene på en sirkel og med lik avstand fra hverandre. Det betyr at man må kunne konstruere vinkelen theta (θ) lik
\(\theta= \displaystyle\frac{360^o}{n}\)
Euklid kjente til konstruksjon av n-kanter hvor n=3,4,5,6,8,10,12,15, og 16.
Konstruksjonen av en regulær 12-kant vil si å kunne konstruere vinkler på 30o (12∙30o=360o). En regulær trekant kan lages fra denne ved å trekke en linje mellom hvert fjerde hjørne. Siden hvert tall i tallrekken er enten et primtall eller kan uttrykkes som et produkt av primtall kan konstruksjonsproblemet utvides til å gjelde:
For hvilke primtall p er det mulig å konstruere en p-kant med passer og linjal ?
Gauss fant at det var mulig å konstruere en 17-kant. For å vise dette måtte han ta i bruk kompleksplanet og komplekse røtter.
Vi starter med ligningen:
\(x^n - 1 =0\)
som har løsningene liggende på en enhetssirkel. Løsningene (røttene) er:
\(\cos \displaystyle\left(k \frac{2 \pi}{n}\right)+ i \sin \left(k \frac{2 \pi}{n}\right)\;\;\;\;\;\; k= 0, 1, 2, 3, \dots, n-1\)
Siden vi har en enhetssirkel er radius=1, så vil cos(x) og sin(x) bli liggende på en sirkel fordi:
\(\cos ^2 (x) + \sin^2 (x)= 1\)
Regulær 5-kant (pentagon)
Vi kan se på en regulær femkant omskrevet av en enhetssirkel. Pentagonet har fem hjørner og fem sidekanter.
Vi har femtegradsligningen
\(x^5 - 1 =0\)
Fra røtter i høyere grads orden ligninger er veien nå kort over til Galois-grupper, Abel-grupper, og symmetri. Røttene x1-x5 i femtegradsligningen over danner en gruppe:
\(E_5= \{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \}\)
Røttene xk
\(x_k= \cos \displaystyle\left(k \frac{2 \pi}{n}\right)+ i \sin \left(k \frac{2 \pi}{n}\right)\;\;\;\;\;\; k= 0, 1, 2, 3, \dots, n-1\)
er generator og primitive n-te røtter av 1, og vi ser at roten x5=1 blir et identitetselement.
Vinkelen for en reguler femkant i radianer blir:
\(\frac{2\pi}{5}= 72 \;rad\)
Vinkelen i grader (o) blir:
\(\theta \cdot\frac{180}{\pi}= 0 , 72 , 144, 216\; \text{og } 288\; ^o\)
Regulær 4-kant
Fjerdegradsligningen for en firkant med fire hjørner og fire sidekanter.
\(x^4 - 1 =0\)
gir en firkant hvor speiling omkring henholdsvis x- og y-aksen og rotasjon omkring origo gir fire symmetrier. Røttene blir:
\(x_ {1-4}= \pm \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Vinklene for en firkant blir 0, 90, 180 og 270o.
Regulær 8-kant
En regulær åttekant, oktogon eller oktagon, har åtte hjørner og åtte sidekanter.
\(x^8 - 1 =0\)
12-kant (dodekagon)
Tolvkanten har tolv hjørner og tolv sidekanter.
\(x^{12} - 1 =0\)
Her er ikke enhetssirkelen ikke tegnet inn, og vi ser at den regulære mangekanten begynner å nærme seg en sirkel. Re(z) er reell akse og Im(z) er imaginær akse. En sirkel kan omskrives og innskrives av en mangekant, og dettte prinsippet anvendte Arkimedes for å lage et estimat av pi.
17-kant
\(x^{17} - 1 =0\)
Vinklene for en 17-kant blir 0.00000 21.17647 42.35294 63.52941 84.70588 105.88235 127.05882
[8] 148.23529 169.41176 190.58824 211.76471 232.94118 254.11765 275.29412
[15] 296.47059 317.64706 og 338.82353 o.
Det maksimale antall krystallstrukturer er også 17.
Det viser seg at det er mulig å konstruere en p-kant hvor p er et primtall hvis og bare hvis:
\(p= 2^m + 1\)
hvor m er et naturlig tall. Hvis m inneholder et oddetall som faktor så vil ikke p være et primtall. For 17-kanten: 24 + 1
Vi ser også tilknytning til Fermat-primtallene pF som er av typen:
\(p_F= {2^2} ^n + 1\;\;\;\;\;\;\; n=0, 1, 2, 3, \dots\)
og disse tallene øker meget raskt i verdi med økende n. De fem første av dem:
3 5 17 257 65537 4294967297