Differensialligninger

En differensialligning inneholder funksjonen og den deriverte av funksjonen. En differensialligning viser i hvilken retning en tangent til en funksjon peker til enhver tid. Moderne datamaskiner har gjort det mulig å løse differensialligninger numerisk hvis man har gitt utgangsparameterne for ligningen.

Dynamiske modeller er basert på differensialligninger. Differensialligninger har en kontinuerlig tidsakse, mens  differensligninger bruker diskrete tidstrinn. Ligningene for eksponentiell vekst og logistisk vekst kan uttrykkes som både differensialligninger og differensligninger. 

Differensialligninger er av to hovedtyper:

Ordinære differensialligninger hvor den ukjente er en funksjon av en variabel og partielle differensialligninger som har to eller flere variable.

I en differensialligning inngår funksjonen og den deriverte funksjonen. Det finnes første ordens differensialligninger og høyere ordens differensialligninger.

Generelt har en differensialligning formen:

\(y'= f(x,y)\)

 Retningsfeltet til differensialligning er korte linjestykker som tangenter til en integralkurve.

Generelt er det vanskelig, for ikke å si umulig, å finne analytiske løsninger av differensialligninger, men vi kan finne en tilnærmet numerisk løsning gitt bestemte utgangsbetingelser.  Eulers metode, lsoda eller fjerde ordens Runge Kutta metode (rk4) kan benyttes til numerisk løsning av differensialligninger.

Den deriverte av x ved tid t har grenseverdi:

\(\frac{dx}{dt}=\lim\limits_{h \to 0}\frac{x\left(t+h\right)- x\left(t\right)}{h}\)

Differensialregning

Differensialregning omfatter endring i stigning på kurver. Hvis vi har en funksjon y=f(x) så er tangenten til funksjonen gitt ved den deriverte f´(x) som angir stigningen til tangentlinjen. Når tangenten er horisontal er stigningen lik 0. En linje har konstant stigning, men stigningen på en kurve endrer seg fra punkt til punkt på kurven. Differensialregning omfatter stigning av kurver, tangenter, maksimums- og minimumspunkter, mens integralregning omfatter arealer under kurver.  Gottfried Wilhelm Leibniz innførte integraltegnet ∫ som arealet under en kurve, en lang s som betegner summen (l. summa) av mange små firkantede arealer. Den deriverte ble uttrykt som d (l. differentia).  

Arealer under kurver kan man finne med enkel integrasjon, og man kan finne volumer med dobbelt integrasjon.

Differensialligninger

Leibniz frimerke

Gottfried Leibniz (1646-1716),

Newton frimerke

 Isaac Newton (1642-1727), 

Euler frimerke

Leonhard Euler (1707-1782) og og Johann Bernoulli (1667-1748) var de første som på begynnelsen av 1700-tallet løste enkle differensialligninger.

J.L Lagrange (1736-1813)

Lagrange frimerke

og Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827) videreutviklet på 1800-tallet løsningsmetodene for differensialligningene.

Laplace frimerke

Laplace er også kjent for studiene av himmellegemenes bevegelser, og Laplace differensialligning beskriver en harmonisk funksjon. Bidrag kom også fra Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Etter hvert ble man klar over at mange differensialligninger ikke kan løses med tradisjonelle metoder, og den franske matematikeren Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) kunne i 1820 forutsi at under gitte forutsetninger hadde en differensialligning løsninger.

Lagrange var den første som innførte betegnelsen f’ som den deriverte av funksjonen f.

Leibniz introduserte en differenskvotient:

\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)

Hvor delta (Δ) er den greske bokstaven Delta som ble brukt til å uttrykke bittesmå forskjeller. Leibniz tenkte at når Δx ble uendelig liten og Δy tilsvarende liten så ble Δx og Δy uendelige små, infinitesimale, og disse infinitesimale betegnet han dx og dy. Deretter kunne man summere opp (integrere) alle de infinitesimale. Mengdene dx og dy kalte han differensialer, d i kalkulus (småstein) betyr en infinitesimal endring.  Derved ble den deriverte en differensialkvotsient dy/dx.

\(f'\left(x\right)= \frac{dy}{dx}= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\)

Grenseverdien betegnes lim (limes).

Leibniz hadde derved skapt differensialkvotienten dy/dx som symbol for den deriverte. Leibniz mente at infinitesimale var uendelige små tall, men allikevel større enn 0. Etter hvert oppga man tanken om infinitesimale som egne uendelige små tall, men fremdeles kalles derivasjon og integrasjon for infinitesimalregning. Imidlertid førte Leibniz tenkemåte til en geometrisk tolkning: den deriverte er egentlig en tangentlinje til en kurve.  Differenskvotienten blir en tangentlinje, og den deriverte sier noe om hvor bratt kurven stiger og i hvilken retning den går. Differensialligningen omhandler tangentlinjer, mens integralregningen tar for seg arealer under kurver. Den franske matematikeren Pierre de Fermat (1601-1665) fant at når tangentlinjene var horisontale dvs. ingen stigning på tangenten så hadde han maksimums- eller minimumspunkter på en grafisk figur. Har den deriverte en positiv verdi stiger kurven, har den deriverte en negativ verdi synker kurven, og er den deriverte lik 0 verken stiger eller synker kurven. I funksjonen som danner en sirkel vil tangentlinjen alltid stå normalt (vinkelrett) på radius i ethvert punkt på sirkelen. Disse tangentlinjene kunne brukes til å beregne endringer i hastighet i fysikken, eller generelt hvor rask hastighetsendring en funksjon har. Betegnelsen f’ brukes på den førstederiverte og f’’ på den andrederiverte. Ofte skriver man y’ i stedet for f’(x), og y’=dy/dx hvor dx er differensialet til x Den andrederiverte skrives som y’’ eller y’’ (x):

\(y''\left(x\right)= \left(y'\left(x\right)\right)'= \frac{d^2 y}{dx^2}\)

Leibniz notasjon for den deriverte:

\(\frac{dy}{dx}= \frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)\right)\)

Lagranges notasjon for den deriverte bruker en apostrof. For den første og andrederiverte:

\(f'\left(x\right)= \frac{df}{dx}\;\;\;\;\;\; f''\left(x\right)= \frac{d^2f}{dx^2}\;\;\;\;\;\; f^n\left(x\right)= \frac{d^nf}{dx^n}\)

Den Newtonske notasjon bruker en prikk:

\(\dot x= \frac{dx}{dt}\)

Den nære sammenhengen mellom integrasjon og derivasjon. En del differensialligninger kan løses ved integrering, men i mange praktiske anvendelser er differensialligningene ikke analytisk løsbare og kan bare løses numerisk med en datamaskin. Integrering er det samme som antiderivasjon, og  beskrives av Fundamentalteoremet i kalkulus. For en kontinuerlig funksjon f(x) fra x0 til x: Hvis:

\(F\left(x\right)=\displaystyle\int_{x_0}^x f\left(x\right)dx\)

Så er:

\(F'\left(x\right)=f\left(x\right)\)

En ordinær differensialligning (ODE) er av typen:

\(y'= \frac{dy}{dt}= f\left(t, y, p\right)\)

hvor t angir tid og p parameterverdier. Ligningen visere endring i en tilstandsvariabel y, som funksjon (f) av tiden som uavhengig variabel, men rom (x kan også være en uavhengig variabel. Parameterverdiene er forskjellige andre variable.

Partielle differensialligninger

Partielle differensialligninger inneholder den partiellderiverte til mer enn en uavhengig variabel e.g. variasjon i tid (t) og rom (x):

\(\frac{\partial y}{\partial t}= f\left(t, x, y, \frac{\partial y}{\partial x}, p\right)\)

Schrödingers bølgeligning, varmeligningen og den elektromagnetiske bølgeligningen er eksempler på partiellderiverte i tre dimensjoner.

I stokastiske differensialligninger  er et av leddene i ligningene en tilfeldig (stokastisk) prosess.

Algebraiske differensialligninger består av en blanding av en differensialligning og en algebraisk ligning e.g.

\(y'= \frac{dy}{dt}= f\left(t, y, p\right)\;\;\;\; \text{og}\;\;\;\; g\left(t, y, p\right)=0\)

Forsinkelsesdifferensialligninger (DDE) har  med en tidsforsinkelse.

Den deriverte av utvalgte funksjoner

Formler for den deriverte

Bruker du numeriske metoder finner du løsningen på enkelt vis. 

Summeringsregel for funksjonen y= f(x) + g(x) hvor den deriverte dy/dx blir:

\(\frac{dy}{dx}= \left(f+g\right)'(x)=\frac{df(x)}{dx}+\frac{dg(x)}{dx}=f'(x) + g'(x)\)

Tilsvarende blir det for differanse hvor plusstegn byttes med minustegn.

\(\frac{dy}{dx}= \left(f-g\right)'(x)=\frac{df(x)}{dx}-\frac{dg(x)}{dx}=f'(x) - g'(x)\)

Produktregel for funksjonen y=f(x)∙g(x) hvor den deriverte dy/dx blir:

\(\frac{dy}{dx}=f(x)\frac{dg(x)}{dx}+ g(x)\frac{df(x)}{dx}= f(x) g'(x)+g(x)f'(x)\)

Kvotientregel for funksjonen y=f(x)/g(x) hvor den deriverte dy/dx blir:

\(\frac{dy}{dx}= \frac{g(x)\frac{df(x)}{dx}- f(x) \frac{dg(x)}{dx} }{g\left(x\right)^2} = \frac{f'(x) g(x)-g'(x)f(x)}{g\left(x\right)^2}\)

Kjerneregel for sammensatte funksjoner h(x)=f(g(x))

\(h'(x)= f'\left(g(x)g'(x)\right)\)

Eksponentialfunksjone f(x)=ex er den eneste hvor den deriverte av funksjonen er lik funksjonen selv.

Numerisk løsning av differensialligninger

Odepack, en samling av ODEsolvere(Ordinary Differential Equations), bl.a.  lsoda (Ordinary Differential Equation Solver for Stiff or Non-Stiff System), ble opprinnelig utviklet av Alan Hindmarsh og Linda Petzhold ved Lawrence Livermore National Laboratory i USA. Karline Soetart, Thomas Petzolt og R. Woodrow Setzer har laget et grensesnitt mellom R og ode-solvere fra Odepack. Lsoda skifter automatisk mellom stiff og ikke-stiff metoder. Hvis en eller flere variable endrer seg raskere enn andre kalles systemet stiff.

En generell utgave av resultatene fra lsoda er at først definerer man en funksjon, parameter- og startverdier,  antall tidsstep, og rtol angir nøyaktigheten i den numeriske integrasjonen. Er det raske endringer er det små tidsstep, er det små endringer går det raskere fremover i lenger steg. Feilkildene ved den numeriske integrasjonen kommer fra tidstrinn og dobbelpresisjons flyttallsaritmetikk i R. 

Litteratur

Soetaert, K. & Herman, P.M.J.: A practical guide to ecological modelling. Springer 2009.

R Development Core Team (2007). R: A language and environment for   statistical computing. R Foundation for Statistical Computing,   Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org.

Tilbake til hovedside

Publisert 31. des. 2019 14:50 - Sist endret 2. jan. 2020 09:16