Et integral til en funksjon f med variabel x, f(x), i intervallet [a, b] er lik arealet som ligger mellom integrandgrensene, nedre x= a og øvre x= b på x-aksen, og avgrenset av kurven eller grafen til f(x) i intervallet:
\(\displaystyle\int_a ^b f(x) dx\)
f(x) kalles integrand og dx er integrasjonsvariabel, et differensial.
Integralet vist ovenfor angir arealet av et todimensjonalt plan begrenset av y-koordinaten y=f(x), x-aksen og de loddrette linjene ved x=a og x=b. Dette integralet angir total mengde stoff fordelt langs x-aksen mellom a og b.
Det er en nær sammenheng mellom integrasjon og derivasjon. Den deriverte viser hvordan retningen på en kurvfunksjon endrer seg med verdien x (eller tid t), mens integrasjon er beregning av arealet under kurvefunksjonen. Integrasjon er antiderivasjon. Egentlig dreier alt seg om tid, det vil si at man kan bytte ut x med t. Integrasjon vil si å finne arealer under kurver. Integrering går ut på å tilpasse en rekke rektangler slik at deres totalareal tilsvarer arealet under en funksjonskurve.
Hvis vi har en deriverbar funksjon F(x):
\(F(x)= \displaystyle\int_a ^b f(t) dt\)
så vil det deriverte av F'(x) være lik f:
\(F'(x)= f(x)\)
Hvis F'(x)= f(x) så er F(x) er den antideriverte til f(x)
Hvis f(x) er en gitt funksjon så er integralet av f(x) en samling med alle antideriverte til f(x). Integraltegnet ∫ står for en sum.
\(\displaystyle\int f(x) dx= F(x) + C\)
hvor C er en integrasjonskonstant.
Det bestemte integralet blir:
\( \displaystyle\int_a ^b f(x) dx= F(b) - F(a)\)
Fundamentalteoremet i kalkulus viser sammenhengen mellom den deriverte og integral, og danner basis i differensial- og integralregningen. For et bestemt integral i intervallet [a,b]
\(F'(x)=\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^bf(t)dt= f(x)\)
\( \displaystyle\int_a ^b f(t) dt= F(b) - F(a)\)
Noen vanlige integraler:
\(\displaystyle\int x^k dx= \frac{1}{k+1}x^{k+1} + C\;\;\;\; k\neq -1\)
\(\displaystyle\int \frac{1}{x}dx= \ln |x| + C\)
\(\displaystyle\int e^{kx}dx= \frac{1}{k}e^{kx }+ C\)
\(\displaystyle\int \ln(x)dx= x \ln (x)- x + C\)
\(\displaystyle\int\sin(x) dx= -\cos (x) + C\)
Arealet A mellom to kontinuerlige funksjoner f(x) og g(x) hvor f(x)≥ g(x) i intervallet [a,b] er lik:
\(A= \displaystyle\int_a ^b [f(x)-g(x) ]dx\)
Konstantmultiplisering for et integral med konstant k:
\(\displaystyle\int k f(x)dx = k\int f(x)dx\)
Sumregel for integral:
\(\displaystyle\int [f(x) + g(x)]dx= \int f(x) dx+ \int g(x) dx\)
Eksempler
Integralet:
\(\displaystyle\int_0^1e^x dx= e^1 - e^0= e-1\approx 1.718282\)
fordi ex er lik sin egen antideriverte (F(x)=ex)
Integralet:
\(\displaystyle\int_1 ^2\frac{1}{x}dx= \ln(2) -\ln(1) \approx 0.6931472\)
Vi bruker at d(ln(x))/dx= 1/x
Numerisk integrasjon og Simpsons regel
Det er utviklet en flere numeriske integrasjonsmetoder basert på summering av rektangler eller trapeser som ligger under funksjonen og avgrenset av denne (Riemannintegralet (Bernhard Riemann) ), eller bruk av Simpsons regel.
Areal ved Riemann-sum
Man kan beregne arealet under en kurve ved å summere en rekke rektangler som følger kurven under et gitt intervall [a,b], jo flere rektangler, desto mer nøyaktig integral. Hvis vi har et areal under en ikke-negativ kontinuerlig funksjon y=f(x) avgrenset av intervallet [a,b] hvor a ≤ x ≤b, så kan intervallet [a,b] deles inn i n delintervaller med lik lengde:
\(\displaystyle\Delta x=\frac{b-a}{n}\)
Arealet av det første rektangel blir Δx∙f(x1) osv. Vi kan lage en Riemannsum for funksjonen f kalt Sn(f) og arealet blir grenseverdien for denne summen når n → ∞
\(\displaystyle S_n(f)= f(x_1)\Delta x+ f(x_2)\Delta x + f(x_3)\Delta x + \dots + f(x_n)\Delta X\)
\(\displaystyle\text{Areal under f(x)}\;\; a\leq x \leq b\; \implies\; \lim\limits_{x \to \infty} S_n(f) \)
\(\displaystyle\int_a^bf(x) dx= \lim\limits_{x \to \infty} \sum_ {i= 1}^n f(x_i) \Delta x \)
Hvis f(x) er negativ for noen verdier lages rektangler under x-aksen, og man trekker arealene over og under x-aksen fra hverandre slik at man ender opp i et endelig areal.
Gjennomsnittsverdien for f(x) i intervallet [a,b] blir:
\(\displaystyle\text{Gjennomsnittsverdi for f}= \frac{1}{b-a}\int_a ^bf(x)dx\)
Skal man beregne arealet numerisk må man ha en formel å forholde seg til, og finne den antideriverte for å integrere blir komplekst.
Areal ved trapesmetoden
Vi kan finne et approksimert (tilnærmet) areal ved trapesmetoden. Arealet av et trapes på figuren blir bredden d (x-verdi) ganger gjennomsnitt av de to paralelle sidene h og k (y-verdi)
\(\displaystyle\text{Areal}= \frac{1}{2}(h+k)d\)
Vi gjør i prinsippet som Riemann-summering, og kan summere arealene av trapesene:
\(\displaystyle\int_a^b f(x)dx \approx \left[\frac{f(x_0)}{2}+f(x_1) + f(x_2)+\dots+f(x_{n-1} )+ \frac{f(x_n)}{2} \right] \Delta x\)
Med en slik trapes approksimering må man også definere en errorfunksjon (erf).
Vi kan bruke trapesmetoden til å finne arealet av:
\(\displaystyle\int_1^2 \frac{1}{x}dx \approx 0.693147 \dots\)
Vi bruker trapesmetoden for n=5. Bredden av hvert trapes:
\(\displaystyle\Delta x= \frac{2-1}{5}= \frac{1}{5}=0.2\)
\(\displaystyle\text{Areal (n=5)}= \left[ \frac{f(1)}{2}+ f(1.2) + f(1.4)+ f(1.6)+f(1.8) + \frac{f(2)}{2}\right] \cdot \Delta x=0.6956349\)
Nøyaktigheten vil øke når n øker.
Trapesmetoden for :
\(\displaystyle\int_1^2 \sqrt{1+x^4}\;dx \approx 3.653484\)
Bredden av hvert trapes:
\(\displaystyle\Delta x= \frac{2-0}{4}= \frac{2}{4}=0.5\)
\(\displaystyle\text{Areal (n=4)}= \left[ \frac{f(0)}{2}+ f(0.5) + f(1)+ f(1.5)+ \frac{f(2)}{2}\right] \cdot \Delta x \approx 3.734379\)
Numerisk integral og Simpsons regel
Simpsons regel som brukes for numerisk approksimasjon av integraler basert på å betrakte f som kvadratiske polynomer. Vi starter med å dele inn integralintervallet [a,b] i et helt positivt partall n. Oppkalt etter matematikern Thomas Simpson (1710-1761), også kalt Keplers regel.
Vi har Simpsons regel:
\(\displaystyle\int_a^b f(x)dx \approx \left[f(x_0)+ 4f(x_ 1) + 2 f(x_ 2)+4f(x_ 3) +2f(x_ 4)+\dots +4f(x_{n-1} + f(x_n)\right]\cdot \frac{\Delta x}{3}\)
\(\displaystyle\Delta x= \frac{b-a}{n}\)
Vi har følgende estimat av absoluttverdien for error (feil):
\(\displaystyle\text{error} \leq \frac{K(a-b)^5}{180 n^4}\;\;\;\;\;\; K= \text{max}|f^{(4)}(x)|\)
hvor ved å øke n minsker error i fjerde potens.
Hvis man e.g. skal integrere:
\(\displaystyle\int_ 0 ^1 e^{-2x^2}dx\)
med Simpsons regel må for de første partallene være n=2 eller n=4, vi regner ut for n=2 som gir Δx=½ og x0=0, x1=½ x2=1
\(\displaystyle\int_ 0 ^1 e^{-2x^2}dx \approx\left[ f(x_0)+ 4 f(x_1) + f(x_2)\right]\cdot \frac{\Delta x}{3}= 0.5935765\)
Vi kan regne ut mer nøyaktig ved å øke n.
Vi kan sammenligne med numerisk integrasjon: 0.598144
Multiple integraler
Vi kan utvide dette til multiple integraler. For det tredimensjonale rommet med et dobbeltintegral for to variable over et domene D i planet, hvor vi finner volumet av en region S begrenset av overflaten z=f(x,y). Vi kan integrere over et rektangel eller mer generelt:
\(\displaystyle\iint f(x,y)dA= \int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)dy\right)dx\)
\(D={(x,y)| \; a \leq x \leq b\; , \; c \leq y \leq d }\)
Volum ved rotasjon
Vi kan finne volumet av tredimensjonale legemer ved å rotere objektet omkring x-aksen.
\(\displaystyle V=\pi \int _ a ^b (f(x))^2 dx\)
Vi kan finne volumet av en kule ved å rotere flaten av en halvsirkel 2π rundt x-aksen:
\(\displaystyle V=\pi \int _ {-r} ^r (\sqrt{a^2 - x^2})^2dx= 2\pi \int_0 ^r (a^2 - x^2)dx \approx 33.51033\)
En sirkel med sentrum i origo og radius r=a= 2 har formel:
\(\displaystyle x^2 + y^2 = r^2\)
Volumet av kule ut fra formel:
\(\displaystyle V= \frac{4}{3}\pi ^3\)
Volumet av en halvkule med radius 1 er beskrevet av følgende dobbeltintegral:
\(V= \displaystyle \iint \sqrt{1 - x^2 - y^2}\;dA= \int_{-1}^1dx \int_{-\sqrt{1-x^2}}^ {\sqrt{1-x^2}} (1- x^2 - y^2)dy\)
Halvkulen skjærer xy-planet i en sirkel med radius=1.
Vi kan uttrykke en sirkel ikke bare i kartesiske koordinater (x,y), men også i form av polarkoordianter (r,θ), r er radius og theta (θ) er vinkelen.
Vi har:
\(\displaystyle x=r \cos \theta\;\;\;\;\; y= r\sin \theta\;\;\;\;\;\; r^2 = x^2 + y^2\;\;\;\;\; \tan \theta=\frac{y}{x}\)
Arealet av en polarkurve begrenset av r=f(θ) og vinklene α=θ og β=θ
\(A=\displaystyle\iint r\; dr\; d\theta= \int_ \alpha ^\beta d\theta\int_0^{f(\theta)}r\;dr= \frac{1}{2}\int_\alpha ^\beta (f(\theta))^2 d\theta\)
Vi kan utvide til et trippelintegral til å gjelde et tredimensjonalt domene:
\(\displaystyle\iiint f(x, y ,z)dx \;dy, dz\)
Trippelintegralet til en funksjon f(x, y, z) kan betraktes som et firedimensjonalt volum (hypervolum). På samme måte som vi hadde polarkoordinater i planet har vi sylinderkoordinater (r, θ, z) hvor z er den vertikale koordinaten.
Vi kan også ha tredimensjonale sfæriske koordinater (ρ, φ, θ) hvor rho (ρ ≥ 0) er avstanden fra origo O til et punkt P på kula, phi (φ) er vinklen som linjen OP danner med den positive retningen av z-aksen som står normalt på xy-planet, 0 ≤φ ≤π , og theta (θ) er vinklen mellom planet som inneholder OP og z-aksen, 0≤ θ ≤2π
\(x= \rho\sin\phi \cos \theta\;\;\;\;\;\, y=\rho \sin \phi \sin \theta\;\;\;\;\;\; z= \rho \cos \phi\)
Kurveintegral (linjeintegral)
Vi kan finne buelengden (s) til en graf beskrevet av en funksjon f(x) over et intervall [a,b]:
\(\displaystyle s= \int_a ^b \sqrt{1+(f'(x))^2}{}\)
Vi kan definere kurveintegralet (linjeintegralet) til en funksjon f(x,y) langs en kurve
\(r(t)= (x(t), y(t))\)
\(\displaystyle\int_a ^bfds= \int_a ^b f(x(t), y(t) )\cdot \sqrt{(x'(t)^2 + (y'(t)^2}\; dt\)
Dette kan brukes til å beregne buelengden
Buelengden for kurven r(t)=Rcos(t), Rsin(t) fra 0 til 2π blir:
\(\displaystyle\int_ 0^{2\pi}\sqrt{(-R\sin(t))^2 + (R\cos( t))^2}\; dt= \int_0 ^{2\pi}R\sqrt{\sin ^2 t + \cos^2 t}\; dt= \int_0 ^{2\pi}Rdt\)
Hvis vi skal integrere rundt en sirkel, som er en lukket kurve, gir dette et lukket integral som uttrykkes som:
\(\displaystyle\oint f ds\)
Det finnes forskjellige typer integraler: Lebesque-integral (Henri Lebesque) o.a.
Eksempel 1
Vi har to funksjoner, en parabel og en rett linje
\(y= x^2+2x+3\)
\(y= 2x+4\)
Vi plotter de to funksjonene, finner skjæringspunktene mellom dem og bestemmer deretter arealet mellom de to kurvene:
Siden linjen ligger over parabelen lager vi en ny funksjon
fc=fb-fa og vi integrerer denne fra -1 til 1.
\(\displaystyle \int_{-1}^1(2x-4)-(x^2+2x+3) dx= \int_{-1}^1(1-x^2)dx= 1.333...\)