Leibniz definerte den deriverte til en funksjon (f´(x)) som:
\(f'(x)= \displaystyle\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)- f(x)}{\Delta x}= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
Hvis f(x) er deriverbar i et punkt a så vil tangenten i punkt (a, f(a)) ha stigning lik f’(a) og ligningen for tangentlinjen blir:
\(y= f(a) + f'(a)(x-a)\)
I ethvert punkt på funksjonslinjen går det an å trekke en og bare en tangentlinje. Vi lar et stykke på x-aksen, delta x, Δx ,blir mindre og mindre, → 0, og det er her tankegangen om infitesimale tall dukker opp. Egentlig er "dividere på null er tull", men delta y (Δy) minsker samtidig. Derivasjon vil si å bestemme retning og helning til en tangentlinje i et punkt på funksjonslinjen. Om den heller oppover, nedover, og hvor bratt, eller er den helt flat. Deretter kan man bevege seg bortover grafen for funksjonen og hele tiden studere i hvilken retning tangentlinjen heller og hvor mye.
Den deriverte av en funksjon y=f(x) kan skrives på forskjellige måter:
\(y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}= \frac{d}{dx}f(x)=f'(x)= Df(x)\)
Siden omtrent alt i denne verden dreier seg om tid (t) kan man bruke t istedet for x på x-aksen, altså dt istedet for dx. Det betyr at man ved derivasjon kan finne ut hvordan noe endrer seg med tiden, hvor mye og i hvilken retning. Man aner at dette er en meget nyttig regneverktøy.
Matematisk analyse og kalkulus
Isaac Newton (1642-1727) publiserte i 1687 Philosophiae naturalis principia matematica (matematiske prinsipper i naturfilosofien), et grunnleggende verk for moderne eksakt vitenskap som dannet grunnlaget for mekanikk og gravitasjonsteori.
Newton tenkte seg en funksjon f(x,y) som var møtepunktet for en vertikal linje dy/dt og en horisontal linje dx/dt som beveget seg med tiden hvor tangenten som er diagonalen i paralellogrammet blir hastighetsvektoren. Forholdet mellom de to linjene blir dy/dx.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Skrev i 1714 Historia et origo calculi differentialis (Historien om opprinnelsen til differensialregningen). Ifølge Leibniz kunne man nå tenke seg meget små (infinitesimale) linjestykker ds på kurven y=f(x) til å være hypotenusen i en trekant. Deretter kunne man bruke Pythagoras teorem på trekanten med sider dx og dy slik at:
\(\displaystyle ds=\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}= \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}\; dx\)
Nå dreier man stykket ds rundt x-aksen i en sirkel med radius y, noe som gir et infinitesimalt areal dA.
Partiellderiverte
Men dette gjelder ikke bare i det todimensjonale planet (2D), men også i det tredimensjonale rommet (3D) med funksjonen z=f(x,y), koordinatene x, y og z, hvor man med de partiellderiverte \(\frac{\partial f}{\partial x}\;\; \frac{\partial f}{\partial y}\) kan studere overflaten på den tredimensjonale flaten via et tangentplan. De partiellførstederiverte inngår i en Jacobi-matrise, mens de partielle andrederiverte i en Hesse-matrise. Man skjønner også raskt at her er det bare å fortsette å øke antall dimensjoner n, til et n-dimensjonalt rom og gjøre akkurat de samme regneprosessene med tilsvarende tankegang. Ved siden av Leibniz er det Newton som krediteres innføring av regneartene derivasjon og integrasjon:
Både hastighet og aksellerasjon kan uttrykkes som den deriverte. Innen økonomi er marginalkostnader ved produksjon definert som den deriverte.
Selv om man kan derivere numerisk, kan det være greit å minne om noen derivasjonsregler. Her for potensfunksjoner (xk), logartimefunksjonen (lnx) og eksponentialfunksjonen (ex). Legg merke til at den deriverte til eksponentialfunksjonen er lik funksjonen selv
\(\displaystyle\frac{d}{dx}x^k= kx^{k-1}\;\;\;\;\;\;\; \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d}{dx}e^x=e^x\)
Mer om derivasjon