Tallene

Tall er abstrakte enheter og kan brukes til å beskrive mengder: 2 appelsiner, 4 bananer, 1½ = 1.5 brød.  Tallene bruker vil til å måle, telle, beregne og nummerere. Tall brukes også  som en kode i telefonnummer, bilnummer personnummer, serienummer, sikkerhetskoder, ISBN-nummer, produktnummer, bankkontonummer osv. Aritmetikk (gr. arithmos - tall) tall-lære, er læren om tallene og deres egenskaper.

De reelle tallene (\(\mathbb{R}\)) inneholder undermengdene: de naturlige tallene (telletallene) (\(\mathbb{N}\))  1, 2, 3, 4, .som sammen med de negative heltallene gir heltall (\(\mathbb{Z}\)) , samt de rasjonale tall (\(\mathbb{Q}\)), et vil si brøkene m/n, som er en kvotient med to helltall, teller m og nevner n, men hvor n er forskjellig fra null (n ≠ 0), et forholdstall. Regner man ut brøken får man et desimaltall.  Hvis n = 1 omfatter de rasjonale tallene heltallene.   Mellom de hele tallene (de naturlige tallene, telletallene) ligger de rasjonale tallene.

De reelle tallene er en undergruppe av de komplekse tallene (\(\mathbb{C}\)), a + bi, hvor a er et rasjonalt tall og i er en imaginær enhet slik at i2 = -1.

\(\mathbb{C}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{N}\)

Alle reelle tall har en plass på tall-linjen. Et tall er et punkt på tall-linjen. I hver sin ende av tall-linjen ligger henholdsvis pluss uendelig (+∞) og minus uendelig (-∞), men uendelig er ikke et eksakt tall. Et liggende 8-tall, ∞,  er symbolet for uendelig.

Georg Cantor som innførte mengdelæren kunne vise at uendelig (∞) ikke er noen fast størrelse, det er forskjellige former for uendelig. Det betyr at uendelig ikke betyr det samme i alle sammenhenger, og alle uendelige mengder har nødvendigvis ikke samme antall elementer. Mengden av de reelle tallene er mer uendelig enn de naturlige tallene, det vil si det er flere reelle tall enn naturlige tall. Tallene eksisterer i en idéverden, men eksisterer tallene uten at vi tenker på dem ? Hva er sammenhengen mellom tallene og den virkelige verden ? 

Rasjonale tall

Rasjonale tall (\(\mathbb{R}\)) som uttrykker fraksjon eller forholdstall kan skrives som en brøk a/b eller –a/b , hvor a og b er naturlige tall, eller a=0, a er teller og b er nevner i brøken, men b må være forskjellig fra null. "Dele på null er tull". Hvis b=1, så ser man at de rasjonale tallene omfatter de naturlige tallene (\(\mathbb{Z}\)). Hvis vi har to rasjonale tall like ved siden av hverandre kan det finnes et uendelig antall rasjonale tall mellom dem. Rasjonale tall kan uttrykkes som både brøk og  desimaltall,  4 = 4.00000, 3/4 = 0.750000, 1/3 = 0.33333...

Hinduene brukte null (0) og tok i bruk de negative tallene , den venstre siden av 0 på tallinjen, for å kunne uttrykke debet og kredit. Tidligere trodde man ikke at det fantes tall som var mindre enn null og bruk av disse tallene ble overført til Europa med renessansen.

Irrasjonale tall

Hvis vi har et rettvinklet trekant hvor lengden av de to hosliggende sidene er lik 1 så blir lengden av hypotenusen c ifølge Pythagoras setning lik kvadratroten av 2 (\(\sqrt{2}\)) fordi

c2 = 12 + 12. Kvadratroten til 2 er lik lengden til hypotenusen i en rettvinklet trekant med sidelengde av hosliggende kateter lik 1. Også lik lengden av diagonalen i et kvadrat med sidelengde lik 1. Kvadratroten til 2 kan ikke uttrykkes som en brøk mellom to heltall og kalles et irrasjonalt tall.  Kvadratroten til 3 (\(\sqrt{3}\)) er irrasjonalt også kalt Theodorus konstant, og er lik lengden mellom parallelle sider i en likesidet sekskant med lengde 1. Kvadratroten av 5 er også irrasjonalt, og inngår i konstanten i det gyldne snitt.

\(\sqrt{3}= 1,73205080756887729352744634150 \dots\)

Tallet pi (π) er lik forholdstallet mellom omkrets og diameter i en sirkel og er et irrasjonalt tall, i tillegg er π et transcendentalt tall.

Pi frimerke

For tallene kvadratroten av 2,  pi (π), konstanten i det gyldne snitt, tau (τ) også kalt phi (φ), og det naturlige tallet e (Eulers tall) er det ikke noe mønster i tallene, de fortsetter tilfeldig og i det uendelige ad infinitum.

\(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}= 1,414213562373095 \dots\)

\(\pi= 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510\dots\)

Mange har studert rekkefølgen av tallene i π, for å se om det finnes noe mønster i tallrekken, hvilket man ikke finner, det er en fullstendig tilfeldig sekvens.  Tallene 0-9 forekommer med samme sannsynlighet 1/10. Det vil si at tar man hundre tall i pi bør ca. ti av dem være 6.

\(\tau = \phi= \frac{1+\sqrt{5}}{2}= 1.6180339887498948482\dots\)

\(e= 2,7182818284590452353602874713527 \dots\)

Euler frimerke

Dette er eksempler på irrasjonale tall, som ikke kan skrives som brøk av to heltall. Når irrasjonale skrives som desimaltall er det et uendelig antall desimaler som ikke har noe periodisk mønster.

Kvadratroten av 2  er irrasjonalt, men ikke transcendentalt fordi det er en løsning av ligningen

\(x^2-2=0\)

Transcendentale tall kan ikke være en løsning i en algebraisk ligning.

Det naturlige tallet e er lik grunntallet i naturlige logaritmer. Euler viste at både e og e2 er irrasjonale tall.

Algebra, algebraiske- og transendentale tall

Innen algebra benyttes bokstaver. Ofte brukes de greske bokstavene:

Greske bokstaver

Algebra på 1800-tallet besto i å løse ligninger.  En algoritme er en trinn for trinn prosedyre med matematiske instruksjoner som fører fra startbetingelser til en slutt.

Algebraiske tall fås ved løsning av polynomet:

\(a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0=0\)

hvor an,….,a0 er heltall. Algebraiske tall er reelle tall som tilfredsstiller polynomligningen med rasjonale koeffisienter.

Al Khwarizimi

Al-Khwarizimi (750-850), innførte de arabiske tallene 0-9 utviklet fra det brahmiske system i India, og kom med viktige bidrag til aritmetikk og algebra, algoritmi de numero Indorum.
Ifølge fundamentalteoremet i algebra vil ethvert polynom med reelle koeffisienter ha reelle eller komplekse røtter. Dette ble bevist av Carl Friedrich Gauss i  Disquisitiones aritmeticae. (Undersøkelser av aritmetikk, 1801)

Johann Heinrich Lambert (1728-1778)hadde en konjektur (formodning) om at π og e er transendentale tall. Cherles Hermite (1822-1901) viste at e er transendentalt og at π er transendentalt ble vist av Lindemann.

Reelle tall som ikke er algebraiske kalles transendentale tall. Alle transendentale tall er irrasjonale, men ikke omvendt. Det finnes en uendelig mengde transcendentale tall. Eksempler på transendentale tall er pi (π) og det naturlige tallet e

At π er et transcendentalt tall (har ikke rot i noen algebraisk ligning med rasjonale koeffisienter) betyr at sirkelens kvadratur er umulig. Det vil si at det er umulig å konstruere med passer og lineal et kvadrat som har samme flateinnhold som en sirkel.

Hvis vi lar radius r i sirkelen være lik 1 betyr dette (arealet av en sirkel er πr2.

\(x^2 -\pi=0 \;\; \implies x=\sqrt{\pi}\)

Det samme gjelder de klassiske geometriske problemstillingene vinkelens tredeling og kubens fordobling, som også er umulige.

Kubens fordobling vil si å finne sidekanten x i en kube som har dobbelt så stort volum som den første. Hvis vi lar sidekanten i den første kuben være lik 1 betyr dette å finne x i ligningen:

\(x^3-2\cdot1^3= 0 \;\;\; \implies x=\sqrt[3]{2}\)

Den russiske matematikeren Aleksandr Gelfond (1906-1968) kunne vise at ab er transcendentalt når a er algebraisk (a ≠ 0 & 1) og b er algebraisk og irrasjonalt. Det betyr at

\(2^{\sqrt{2}}=2.6651441426902251886502972498731\dots\)

er transcendentalt (Gelfond-Schneiders konstant),

Gelfonds konstant er også transcendental:

\(e^{\pi}={\left(e^{i\pi}\right)}^{-i}=(-1)^{-i}=23,140692632779269008636 \dots\)

Brøk og brøkregning

En brøk består av en teller over brøkstreken og en nevner under brøkstreken. En brøkstrek er det samme som et deletegn. Hvis telleren er større enn nevneren er brøken større enn 1 og kalles en uekte brøk

Å utvide brøken vil si å multiplisere teller og nevner med samme tall.

Forkorte en brøk vil si når teller og nevner er faktorisert kan et likt tall i teller og nevner erstattes med tallet 1.

Hvis teller og nevner er like store blir brøken lik tallet 1. 

Et blandet tall er sammensatt av et heltall og en brøk, 2½. En uekte brøk kan presenteres som et blandet tall. En brøk som har 0 (null) i teller blir lik 0. Null i nevneren gir uendelig Et heltall n kan omgjøres til en brøk: 3= 3/1

   En forutsetning for å addere (legge sammen) og subtrahere (trekke fra) brøker er at brøkene må ha fellesnevner. Fellesnevner finnes ved å faktorisere alle nevnerne og finne en fellesnevner kalt minste felles multiplum. Deretter utvides brøkene slik at de får fellesnevner og deretter kan de adderes eller subtraheres. 

Å faktorisere et tall vil si å skrive et tall som produkt av to eller flere tall. Dette benyttes bl.a. ved forkorting av brøker. Tallet 15 kan faktoriseres som 3∙5. Hvis alle faktorene er primtall kalles det primtallfaktorisering.

To brøker kan multipliseres med hverandre ved å gange (multiplisere) teller med teller og nevner med nevner. Vi kan multiplisere et heltall med en brøk ved å multiplisere heltallet med telleren og beholde nevneren. Når vi skal dividere (dele) to brøker med hverandre så snur vi den siste brøken (divisor) og multipliserer brøkene med hverandre.

En potens består av et grunntall og en eksponent. Vi får følgende lover for eksponenter og som tilfredsstiller eksponensialfunksjoner  for a større enn null (a > 0):

Potensregler

Tabell over noen potenser hvor x og y er eksponenter, a er grunntall og c er en konstant. Potenser som flyttes fra teller til nevner, eller omvendt, skifter fortegn på eksponenten.

\(2^3 2^5=2^8\; \;\;\;\; \frac{2^5}{2^3}=2^{5-3}=2^2\;\;\;\;\left(\frac{3}{2}\right)^4=\frac{3^4}{2^4}\;\;\;\;\left(2^2\right)^{-4}=2^{-8}\)

Kvadratrot til et tall x er et tall n som ganget med seg selv gir x.

\(\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}=\sqrt{n^2}=n\)

Potensregler

Kjenner vi arealet til et kvadrat kan vi finne siden i kvadratet ved å ta kvadratroten av arealet.

Absoluttverdien til et tall x er gitt ved |x|:

\(|x| = \begin{cases} x & \quad \text{hvis}\; x\geq 0 \\ -x & \quad \text{hvis}\; x<0 \end{cases} \)

De vertikale linjene kalles absoluttverdistolper.

Vi har signum-funksjonen sgn(x) (l. signum-tegn)som viser om x er positiv eller negativ, men sgn(0) har ingen definisjon.

\(sgn (x) =\frac{x}{|x|} \begin{cases} 1 & \quad \text{hvis}\; x> 0 \\ -1 & \quad \text{hvis}\; x<0 \\ \text{udefinert} & \quad \text{hvis}\; x=1 \end{cases} \)

Primtall

Primtallene er tall som bare er delelig med seg selv og 1, og primtall kan ikke skrives som et produkt av to mindre tall. Primtallene er grunnsteinene i tallrekken. Multiplikasjon av primtall gir alle tall.

 Primtallene som er mindre enn 50 er

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Bortsett fra det første tallet 2 som er partall er resten av primtallene oddetall. Den minste avstanden mellom to primtall er mellom 2 og 3.

1 defineres ikke som primtall, selv om det egentlig passer med definisjonen for et primtall. Hadde 1 vært definert som et primtall kunne vi ikke foretatt en entydig faktorisering av tall.  Ethvert tall >1 er enten primtall eller ikke primtall. Sammensatte tall som 10, 15, og 18 kan faktoriseres som et produkt av  mindre hele primtall. Ethvert sammensatt tall kan skrives som et produkt av primtall. 6 = 2∙3, 18 = 2∙9 = 2∙3∙3

Tall som ikke kan faktoriseres kalles primtall. Et naturlig tall >1 er et primtall hvis det ikke kan uttrykkes som et produkt av to mindre tall. Primtallene er byggesteiner for alle de naturlige tallene. Hvorfor er noen tall primtall, og andre ikke ?

  Alle de naturlige tallene 1, 2, 3, osv. kan lages ved 1+1+1+1 osv. og neste tall er 1 større enn det foregående. Hvis vi har tallet 12 vet vi at 12=4∙3 og 3 og 4 kalles faktorer av 12. Den unike mengden i produktet kalles primfaktor.

Komplekse tall

Vi ønsker å ha tall som gir svar i alle ligninger. Har vi ligningen:

\(x^2+1 = 0 \;\;\; \implies x=\sqrt{-1}\)

Vi kan ikke ta kvadratrot av et negativt tall. Dette førte fram til de komplekse tall, som vi skal se på seinere. Komplekse tall og kompleksplanet er nødvendig for å kunne forklare hva vekselstrøm er for noe, og som brukes av alle. 

René Descartes hadde i Géometrie (1637) tatt opp problemstillingen med kvadratroten til negative tall.

Det må være mulig å løse kvadratiske ligningen x2+1=0, som har ingen relle løsninger,  hvis tallrekken skulle være komplett. Det vil si x2=-1 og

\(x=\pm\sqrt{-1}\)

men hvor det komplekse tallet (0,1) er en løsning. x=i er en annen løsning.

Den italienske matematikeren Rafael Bombelli (1526-1572) presenterte i verket L’Algebra (1526) løsninger av ligninger etter metoden til Scipione Del Ferro (1465-1526) og Niccolo Fontana Tartaglia (1499-1557), men la også et grunnlag for de komplekse tallene.

Bombelli frimerke

Allerede 1797 hadde den norske matematikeren Caspar Wessel (1745-1818), i familie med dikteren Johan Herman Wessel, innført et komplekst plan med to akser (Wessel-plan). ”Han tegner landkart og leser loven, og er så flittig som jeg er doven”. Dette ble også gjort i 1806 av Jean-Robert Argand (1768-1822) (Argand plan), og deretter videre utviklet av Gauss i 1831.

Gauss kompleksplan

Komplekse tall kan fremstilles geometrisk i et komplekst plan med en horisontal reell x-akse og en vertikal imaginær yi-akse. Komplekse tall er todimensjonale vektorer, men med en ny type multiplisering. Euler innførte tallet i kalt imaginær enhet:

\(i=\sqrt{-1}\;\;\;\;i^2=-1\;\;\;\;i^3=-i\;\;\;\;i^4=1\;\;\;\;i^5=i\;\;\;\;\frac{1}{i}=-i\)

På denne måten kan komplekse tall skrives som:

\(z= a+bi=(a,b)\)

hvor a er et reelt tall.

Binære tall

De vanligst brukte tallsystemene er 10-tallsystemet (dekadisk tallsystem) og det binære tallsystem (totallsystemet), hvorav sistnevnte benyttes i datamaskiner og alt som er digitalt, og det er jo det meste for tiden. I prinsippet kan man lage et tallsystem basert på et hvilket som helst grunntall for eksempel 4, 8, 12 eller 20

10-tallsystemet bruker grunntall 10, og bygget opp således:

\(\dots a_410^4+ a_310^3+a_210^2+ a_110^1+ a_010^0\)

og husk 100 =1, og a0,a1,…,an kan være et av tallene i mengden 0-9.

For eksempel blir tallet 1729 skrevet således:

\(\dots 0\cdot10^4+ 1\cdot 10^3+7\cdot 10^2+2\cdot10^1 + 9 \cdot 10^0\)

Skal man skrive desimaltall settes komma eller punktum etter 100 og så fortsetter rekken videre mot høyre 10-1, 10-2 osv.

Det binære tallsystemet med 2 som grunntall:

\(\dots a_42^4+ a_32^3+a_22^2+a_12^1+a_0a^0\)

20=1, og a0,a1,…,an kan være et av tallene 0 eller 1

De første naturlige tallene skrevet binært blir:

Binære tall

For eksempel tallet 9 skrevet binært:

\(\dots 0\cdot 2^4+ 1\cdot2^3+ 0\cdot2^2+0\cdot 2^1 + 1\cdot2^0= 0+8+0+0+1=9\)

Babylonerne brukte grunntall 60 og vi finner dette igjen i inndelingen av sirkelen i 360 grader og 1 time = 60 sekunder. Mayafolket hadde grunntall 20 og vi finner dette igjen i snes (20) (et snes egg) og skokk (3∙20=60) (en skokk unger), eller i den danske tellemåten (firs = 4∙20 = 80) eller fransk quatre (20) vingt (4) = 80. Grunntallet 12, som også inngår i faktorisering av 60, finner vi 12 månefaser, dusin (12) (et dusin egg), et tylft tømmer (12), og gross (12∙12=144). En klokke er syklisk, hvor når man kommer til klokken 12 er man tilbake til utgangspunktet. På en klokke har vi 6 + 12 = 6, det vil si 12 tilsvarer 0. jfr. klokkearitmetikk

Totallsystemet har grunntall 2 og bruker tallene 0 og 1 som binære siffer. Et binært siffer kalles bit, forkortelse for ”binary digit”, og tilsvarer lagerplassen for en elementær enhet. Et ord består av 8 lagerposisjoner og danner til sammen 1 byte, dvs. ordlengden er 8 bits. Dette gir mulighet for 256 kombinasjoner av 0 og 1.

\(2^8=256\)

Tallet 255 som binært blir 1 1 1 1 1 1 1 1 er det største tallet som kan skrives med ordlengden 8 bits.

Det binære tallsystemet har sin opprinnelse fra det gamle Kina og ble tatt i bruk av Leibniz.

De første desimaltallene 0-7 får tilsvarende binære tall:

0 = 0;  1 = 1;  2 = 11;  3 = 10; 4 = 100;  5 = 101;  6 = 110;  7 = 111

Hvis to tall med 8 bits summeres kan vi få tall som er 9 bits. Vi summerer to tall mellom 0 og 255 og blir tallet for stort trekker vi fra 256, addisjon modulo 256. I flytende aritmetikk skrives tall som 2x∙y hvor x og y er hele tall som kan bli lagret over flere ord (byte).

Ethvert tall kan brukes som basis i et tallsystem. For eksempel et tallsystem med basis 6 og skrevet med tallene 0-5.

Tallet 1043 med basis 6:

\(1\cdot 6^3+0\cdot 6^2+4\cdot6^1+3\cdot 6^0= 243\)

Se på Youtube Tom Lehrer: New math, kombiner gjernemed en animert utgave,  samt  That's mathematics

I et binært tallsystem uttrykkes alle tall, bokstaver og tegn i form av 0 (falsk) og 1 (sann). Et binært tall kalles en bit. Åtte binære tall kalles en byte.  Man pleier å bruke større grupper med bytes, 32 bits = 4 bytes, 64 bits = 8 bytes. Med 32 bits kan man beskrive 232 tall, men siden disse skal brukes til både positive og negative tall er det største hele tallet som kan beskrives i et 32-bits system i praksis lik:

\((2^ {31})-1=2147483647\)

For å beskrive et større antall bits eller bytes brukes følgende SI-enheter:

Byte

To opphøyd i n-te hvor n: 0 – 10 gir følgende tall:

\(2^n \)

1    2    4    8   16   32   64  128  256  512 1024

Siden noen reelle tall har uendelig antall siffer vil det bli avrundingsfeil når man bruker et begrenset antall siffer. Dette kan gi relativt store feil i iterasjonsprosesser med mange iterasjon.

ASCII kode (American Standard Code for Information Interchange) hadde opprinnelig 27=128 mulige kombinasjoner hvorav 95 blir brukt til tall og store og små bokstaver. Dette ble seinere utvidet til 8-bits ASCII. Nå er ASCII delvis erstattet av Unicode (http://www.unicode.org/charts/)

UTF-8 er kompatibel med ASCII.

UTF-16 er 16 bits (2 byte) og gir 0-65535 tegn, men det finnes flere forskjellige typer UTF-16

\(2^{16}=65536\)

UTF-32 er 32 bits og gir følgende antall tegn:

\(2^{32}=4294967296\)

I sikkerhetskoder kan det brukes 128 bits nøkkel som gir antall kombinasjoner:

\(2^{128}=3.402824 \cdot 10^{38}\)

Den første regnemaskin (pascaline)basert på tannhjul og gear som kunne addere og subtrahere ble laget av Blaise Pascal (1623-1662) i 1642. Charles Babbage (1792-1871) dannet det teoretiske grunnlaget for regnemaskiner som realisert som Mark I ved Harvard universitetet på 1940-tallet. Kunne i løpet av 3 sekunder multiplisere to tall med 11 siffer hver. I 1946 ble datamaskinen ENIAC (Electronic Numerical Inegrator and Computer)inneholdt flere tusen radiorør og ble bygget ved universitetet i Pennsylvania. I løpet av 3 millisekunder ble to 10-siffrede tall multiplisert. Signalene kan ikke overføres raskere enn lyshastigheten 3∙1010 cm/sek. 1 nanosekund er 10-9 sekund og på den tiden har lyset beveget seg 30 cm.

Den amerikanske matematikeren Claude Elward Shannon (1916-2001) la grunnlaget for informasjonsteori med A matematical theory of communication (1946) som omhandlet prossesser for å komprimere, behandle og overføre digitale data med minst mulig støy og feil.

   Den norske matematikeren Axel Thue (1863-1922) gjorde nye oppdagelser, som ble videreført av andre. For eksempel Thue-Morse sekvensen (amerikansk matematiker Marston Morse 1892-1977) som er en binær sekvens av tall. Sekvensen starter med 0. I sekvensen blir 0 etterstattet av 01, hvis sekvensen  inneholder 1 det erstattet av 10.

Man får da sekvensen:

0, 01, 0110, 01101001, 0110100110010110, osv.

For å hindre feil i digital overføring kan man for eksempel bruke Gray kode (Frank Gray). Dette omhandler tall som skiller seg fra hverandre bare i et siffer og en posisjon for eksempel 253 og 263. I lineær Graykode begynner man lengst til høyre i tallrekken og vurderer tallet til venstre. Hvis tallet til venstre er 0 la tallet stå, hvis tallet er 1 bytt tallet. For eksempel antar vi at binærtallet 1 har 0 til venstre for seg

Andre tall og tallsystemer

Kvaternioner og hyperkomplekse tall

Gaussheltall

Taxitall

Googolplex

\(\displaystyle 10 ^{\text{googol}}=10^{{10}^{100}}\)

Mersenneprimtall er av typen 2p-1 hvor p er et primtall. Det største til nå kjente Mersenneprimtallet er

48. Mersenne primtall : 257885161- 1

Hva er uendlig minus 1 ? Uendlig er ikke et tall, bare et begrep og trekke fra 1 gir ikke mening.

\(\displaystyle \infty-1 = ?\)

Googol, tallet 1 med hundre nuller

\(\displaystyle 10^{100}\)

Grahams tall

Grahams tall er et gigantisk stort heltall tilknyttet Ramseyteori. Ramsey viste at fullstendig uorden er umulig. Siste siffer i Grahams tallet blir alltid 7.  Tallet fremkommer ved en potensesrekke. Kan også beskrives av Knuts pil opp notasjon fra 1976 (Donald Knuth), hvor gjentatte piler opp angir potensene e.g. n↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑n

\(\displaystyle 2^4 =2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2= 2 \uparrow 4=16\)

\(\displaystyle 2 \uparrow \uparrow2= 2\uparrow 2 \uparrow 2= 2^{{2}^2}= 16\)

\(\displaystyle 3 \uparrow \uparrow3= 3\uparrow 3 \uparrow 3= 3^{{3}^3}= 3^{27}=7625597484987\)

Talltriks

1. 

Velg et tall            (n)

Legg til 5             (n+5)

Multipliser med 2    (n+5)∙2=2n+10

Trekk fra 4             2n+6

Divider med 2            n+3

Trekk det tallet du valgte fra dette tallet n+3-n.

Velg forskjellig n og du ser at svaret alltid blir lik 3. Kan brukes i klassen, men da holder du svaret for deg selv inntil alle har regnet ut sitt tall. De som ikke har fått 3 har regnet galt.

Googolplex

 

2.

Velg et tall n blant [1,10] (n)

Multipliser tallet med 9 n2=(n*9)

Beregn tverrsummen xy

Trekk fra 6

Siden tverrsummen for tall i 9-gangen alltid blir lik 9 ender du alltid opp med 3 som resultat.

Spesielle kulturelle tall

3 (tre)

De tre vise menn (hellige tre konger): Kaspar, Melchior og Balthasar.

Treenigheten: Faderen, Sønnen, Den hallige ånd.

Tre moirer (skjebnegudinner: Klotho spinner livets tråd. Lakheis trekker lodd og plukker ut. Atropos kutter livstråden.

Tre furier (erinnyene) i gresk mytologi: Megaira, Alekto og Tisifone.

7 (syv, sju)

Den syvende himmel: Solen, Månen og de fem klassiske plantene (gr. planetes – vandrer) Merkur, Venus, Mars, Jupiter, og Saturn.

De syv klassiske metaller innen alkymi: sølv (Månen), kvikksølv (Merkur), kobber (Venus), gull (Solen), jern (Mars), tinn (Jupiter) og bly (Saturn)

De syv blåner.

Syv ukedager.

Til syvende og sist. Jfr. skapelsesberetningen.

Antikkens syv (sju)underverker: Kheopspyramiden, de hengende hager i Babylon, kolossen på Rhodos, fyrtårnet Faros ved Alexandria, artemistempelet ved Efesos, Zevsstatuen i Olympia.

De sju slag julekaker: smultringer, goro, fattigmann, sirupssnipper, sandkaker, krumkaker, berlinerkranser. Pepperkaker, og serinakaker kan bytte ut noen på listen.

De syv dødssynder: grådighet (avaritia), begjær (luxuria), misunnelse (indvidia), fråtseri (gula), vrede (ira), og latskap (aedia).

Dante og skjærsildberget: misunnelse, hovmod, vrede, dovenskap, griskhet, glupskhet, utukt.

De syv kardinaldyder: måtehold, kyskhet, tilgivelse, ydmykhet, barmhjertighet, velvilje og innsatsvilje.

Syv frie kunstarter (septem artes liberale) fra middelalder til renessanse: Trivium (tre veier): logikk, retorikk, grammatikk.Quadrivium (fire veier): aritmetikk (tall-lære), astronomi, geometri og musikk

De syv dverger fra brødrene Grimms eventyr fikk navn i Walt Disneys tegnefilm Snehvit og de syv dvergene (1937). De norske navnene ble: Brille, Sinnataggen, Søvnig, Blygen, Lystig, Prosit og Minsten.

Tilbake til hovedside

Publisert 20. nov. 2019 11:54 - Sist endret 2. des. 2021 18:45