Hyperkomplekse tall og kvaternioner

William Rowan Hamilton (1805-1865) ønsket å utvide de komplekse tall fra det todimensjonalt Argand-,  Wessel- eller Gauss-plan til et flerdimensjonalt system. Han fant ikke noe system i tre dimensjoner (a, b, c), men derimot i fire og i åtte. Det ligner på utvidelsen av pytagoras setning i planet til Fermats teorem i tre dimensjoner. 

I det todimensjonale kompleksplanet har vi bare en imaginær akse i som er lik kvadratroten av -1. Hva med flere imaginære akser ? Det er umulig å lage et slikt system tilsvarende kompleksplanet i tre dimensjoner, men Hamilton laget et komplekssystem for fire dimensjoner, og kalte de komplekse tallene for kvaternioner, samt et for åtte dimensjoner (bikvaternioner,oktonioner).

Kvaternioner ble erstattet av vanlig vektorregning, men når det gjelder rotasjoner har kvaternioner en fordel og bedre enn vanlige matriser, og har også vært benyttet til navigering, datagrafikk, molekylære dynamikk, samt  til høydekontroll i romfartøyer. Vi skal se på hvordan kvaternioner kan bli brukt til å rotere et 3D-objekt. Vanlig rotasjon i R³ kan gjøres med en 3x3 ortogonal matrise med determinant lik 1. Imidlertid er kvaterioner velegnet til rotasjoner i R³.

Eulers rotasjonsteorem sier at en rotasjon av et fast objekt eller koordinatsystem omkring et fast punkt er lik en rotasjon en gitt vinkel theta (θ) omkring en fast Eulerakse som går gjennom det faste punktet.

Et kvaternion, her kalt S, i rommet (1,i,j,k) kan uttrykkes som:

\(S=w + ix + jy + kz\)

hvor w, x, y og z er reelle tall, og i, j, k følger Hamilton-identiteten:

\(i^2=j^2=k^2=ijk = -1 \;\;\;\; ij =-ji=k \;\;\;\;jk=-kj=i\;\;\;\;ki=-ik=j\)

Vi har nå i stedet tre akser med kvadratroten av -1 (i,j,k). Rekkefølgen av hvordan man multipliserer er avgjørene. Vi ser over at ij=k, mens ji=-k.

Kvaternionet til punktet (w,x,y,z) blir:

\(w + ix + jy + kz\)

Vi har enhetskvaternionet:

\(w^2 + x^2+y^2 + z^2 = 1\)

som også kan betraktes som en kvaternionkule. Multiplikasjon av to enhetskvaternioner gir et nytt enhetskvaternion. På samme måte som vi ønsker å finne (retningen, derivere) tangenter til en todimensjonal funksjon, eller tangentfelt til flerdimensjonale funksjoner ved å se på de partiellderiverte (Hesse-matriser), så er man også interessert i å finne tangentplanet for kvaternioner. Vi kan benytte oss av at multiplisering av et enhetskvaternion med et annet gir et nytt enhetskvaterion for å lage akser som står normalt på hverandre i kvaternionrommet.

Oktonioner

Oktonioner er 8-dimensjonale, hvor enhetsoktoniet har 7 dimensjoner (7-dimensjonal kule) Se også Cayley-tall. Vi ser nå at vi har tallet 1 for imaginær akse i kompleksplanet, 3 akser i kvaternionrommet og 7 akser i oktonionrommet. Det viser seg at det er bare dimensjonene 1, 3, 7 (og ?) som er paralleliserbare. John Willard Milnor  og Michel André Kervaire (1927-2007) har vist at det finnes 28 deriverbare strukturer i det 7-dimensjonale kvaternionrommet. Det er relasjoner til Bouwers hårballteorem: Hvis man har en kule dekket av hår og man forsøker å gre alle flatt så vil minst ett hår stå rett opp (gjelder ikke for en torus, hvor alle hår kan gres flatt).

Vi har regneartene kvaternion multiplikasjon og addisjon, og multiplisering av et kvaternion med en skalar. Det er ikke-kommutativt slik at ij=k, mens ji=-k.

Polynomligninger for kvaternioner kan ha flere løsninger enn graden av polynomet. For eksempel vil z²+1=0 ha uendelig mange kvaternionløsninger. For komplekse tall er det bare i og –i som er lik kvadratroten til -1, mens i H (Hamilton) er det uendelig mange kvadratrøtter av -1.

Hvis Pythagoras setning utvides til 3 dimensjoner legger man grunnlaget for Fermats siste sats. Utvides kompleksplanet (C) med reell og imaginær akse til 3 dimensjoner går ikke dette, men i 4 dimensjoner får man kvaternioner (H), en 4-tuppel. Så blir det en pause før man i åtte dimensjoner har man oktonier (O), en 8-tuppel. Oktonier ble oppdaget av John T.Graves i 1843, han kalte dem oktaver, men uavhengig ble de også oppdaget av Arthur Cayley, og kalles også Cayley-tall. 

R-pakken onion kan brukes til å studere kvaternioner og oktonier

Et kvaternion q er definert som en reell skalar q₀ og en vektor q=(q₁,q₂,q₃).

Den ortonormale basis (1,i,j,k)er gitt ved 1=(1,0,0,0), i=(0,1,0,0), j=(0,0,1,0) og k=(0,0,0,1) og kvaternionet q blir således:

\(q=q_0+q=q_0+q_1i +q_2j+q_3k\)

Hvor q₀ er den skaralare delen, og q₁i+q₂j+q₃k er den imaginære delen

Kvaternionmultiplisering: Et produkt av to kvaternioner blir et nytt kvaternion

Man kan også finne logaritmen og eksponentialfunksjonen til kvaternioner hvor også trigonometriske funksjoner inngår.

Hvis q er et kvaternion:

\(q=q_0+q=q_0+q_1i +q_2j+q_3k\)

Så har vi et komplekst konjugat q*:

\(q^*=q_0-q=q_0-q_1i -q_2j-q_3k\)

Norm til et kvaternion ||p|| er en skalar, alltid et ikke-negativt reelt tall,  lik kvadratroten av produktet av kvaternionet og dets komplekse konjugat.

\(||q||=\sqrt{q^*q}\)

Hvis norm er lik 1 kalles det en enhetskvaternion

Den inverse av et kvaternion q^-1 er lik:

\(q^ {-1}=\frac{q^*}{||q ||^2}\)

Modulus til et kvaternion er lik kvadratroten av norm

Hvis vi har et kvaternion:

\(q=a+bi+cj+dk\)

så kan norm q også skrives som:

\(||q||=\sqrt{q^*q}= \sqrt{qq^*}=\sqrt{a^2 + b^2+c^2 + d^2}\)

Tilbake til hovedside