Binomial fordeling

Binomial fordeling er en diskret (diskontinuerlig) sannsynlighetsfordeling, også kalt myntkastfordelingen, som angir sannsynligheten p for antall utfall med suksess (k) i n antall forsøk. Ett eksperiment (n= 1) med bare to utfall, enten suksess (ja, sann, kron) eller ikke-suksess (feil, nei, usann, mynt)  kalles et Bernoullieksperiment. Den binomiale sannsynlighetsfordelingen er fordelingen av gjentatte Bernoullieksperimenter. 

For en tilfeldig stokastisk variabel X med sannsynlighetsparameter p og antall Bernoullieksperimenter n tilsvarer binomialfordelingen:

\(\displaystyle X \sim \;\text{Binom}(n,p)\;\;\;\;\;\; n \in \mathbb{N}\;\;\; p \in [0,1]\)

Sannsynligheten for k suksess i n uavhengige forsøk har sannsynlighetstetthetsfunksjonen f(x) lik f(k, n, p), lik sannsynligheten for at den stokastiske (tilfeldige variabel) X har utfallet k, P(X=k):

\(\displaystyle f(k, n, p)= P(X=k)= \binom{n}{k}p^k (1-p) ^{n-k}\)

hvor k= 0, 1, 2, ..., n og binomialkoeffsienten viser antall muligheter for k suksess i n forsøk. 

Vi har det mer generelle problem å telle antall distinkte  delmengder k som kan dannes fra en mengde med n elementer. Vi kan kalle dette tallet f(n,k) binomialkoeffisienten, hvor n faktuletet (n!) er lik fakultetsfunksjonen:

\(f(n, k)= \displaystyle \binom {n}{k}\)

\(\displaystyle \binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Utfallet anntall kron eller mynt ved myntkast følger binomialfordelingen. Det samme gjør kuler som ruller ned et Galtonbrett

Forventning E(X) og varians Var(X) for en binomial sannsynlighetsfordeling er:

\(\displaystyle E(X)= np\;\;\;\;\,\,\, Var(X)= np(1-p)=npq\)

For å bestemme konfidensintervall for en binomial sannsynlighetsfordeling kan man bruke Waldmetoden eller Agresti-Coull-metoden.

Både Poissonfordelingen, binomialfordelingen, negativ binomialfordeling og gammafordeling for diskrete variable (diskontinuerlige) kan under gitte betingelser følge normalfordeling, men som er en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling.

Tilbake til hovedside

Publisert 3. apr. 2020 10:15 - Sist endret 3. apr. 2020 10:54