Sirkelbevegelse
Hvis vi har en partikkel på sirkelen ved punkt (a,0) ved tid t=0 og som beveger seg mot klokka rundt sirkelen med konstant vinkelhastighet omega (ω) i radianer per sekund, så vil θ=ωt og posisjonsvektoren r(t) med enhetsvektorene i=(1,0) og j=(0,1) være gitt ved:
\(\displaystyle \overrightarrow {r}(t)= a\cos\omega t \overrightarrow {i}+ a\sin \omega t \overrightarrow {j}\)
Hastighetsvektoren v(t)for bevegelsen:
\(\displaystyle \overrightarrow {v}(t)= -a \omega\sin\omega t \overrightarrow {i}+ a\omega \cos \omega t \overrightarrow {j}\)
Hastighetsvektoren står normalt på posisjonsvektoren:
\(\overrightarrow {r}(t)\cdot \overrightarrow {v}(t)= 0 \)
Lengden av hastighetsvektoren er hastigheten:
\(\displaystyle |\overrightarrow{v}(t)|= \sqrt{(-a \omega\sin \omega t \overrightarrow {i})^2+ (a\omega \cos \omega t \overrightarrow {j})^2}=a\omega\)
Hastigheten er uavhengig av t og endrer bare retning, men ikke størrelse. Aksellerasjonsvektoren a(t) er endring i hastighetsvektoren, altså den deriverte:
\(\displaystyle \overrightarrow{a}(t)= \overrightarrow {v}'(t)= -a\omega^2 \cos \omega t \overrightarrow{i}- a \omega ^2 \sin \omega t \overrightarrow {j}\)
Vi har dessuten:
\(\displaystyle \overrightarrow {a}(t)= - \omega^2 \overrightarrow {r}(t)\)
som viser at aksellerasjonsvektoren er alltid i motsatt retning av posisjons-(radius-)vektoren, dvs. aksellerasjonen er mot sentrum, sentripetalt.
Enhetssirkel med posisjonsvektor r(t) (rød) og hastighetsvektor v(t)(blå), og θ=ωt.
Planetene følger svakt elipseformet baner rundt Sola. Månen i svak elipsebane rundt Jorden.
Sinusfunksjonen sin(θ) for fasevinkel theta (θ) fra 0-2π, det vil si fra 0-360o, (hele sirkelen rundt).
Cosinusfunksjonen cos(θ) for fasevinkel theta (θ) fra 0-2π, det vil si fra 0-360o.
Sirkulær heliks
En sirkulær spiral (heliks) har konstant stigning og kan beskrives som:
\(\displaystyle x= a\cos \theta\;\;\;\;\;\; y= a\sin \theta\;\;\;\;\;\; z= b\theta\)
Når b≥1 blir det en høyredreid heliks, og når b≤1 blir det en venstredreid heliks
Sirkulær heliks for enhetssirkel (a=1) og b= 1, venstrehendt. Helningen på en spiral er hvor mye den stiger ved passering av en runde på spiralen. En sirkulær heliks har konstant radius.
Sirkulær heliks med a= 1 og b= -1, og rotasjonsretningen endres til høyrehendt.
Høyredreiende eller venstredreiende spiraler i naturen
Når man beveger seg oppover en spiral kan den dreie med klokka eller mot klokka, og noen ganger benyttes betegnelse Z-skrue og S-skrue. Generelt kan en heliks danne en mer stabil og kompakt struktur sammenlignet med en linær trådformeet. En heliks som har deler med høydredreid og andre deler med venstredreid kan avende dette til å bli kvitt fysiskmekaniske spenninger i heliksen.
Spiral blir også brukt som betegnelse på et prevensjonsmiddel. Kobberspiral eller hormonspiral satt inn i livmoren.
Spiraler brukt i dekor på tapet eller treutskjæringer.
En superheliks er hvor fler helikser til sammen danner en større heliks
Spiralformete molekyler
DNA
Nukleinsyrekjeden i DNA, to heliksformete DNA-tråder tvinnet i hverandre rundt en felles akse, hvor sukkerfosfater danner den strukturen i heliksen. Nukleinsyrene danner baspar bundet sammen med hydrogenbindinger inne i heliksen, adenin-thymin og guanin-cytosin, i trådene med motsatt retning 5' → 3' og 3' → 5'. DNA er vanligvis høyrehendt, kalt B-DNA med ca. 10 baser per vinding, og dobbeltheliksen gir to furer, en hovedfure og en minifure. Watson-Crick strukturen er B-DNA. DNA kan også finnes i krystaller som en høyrehendt A-form, men man er usikker på om A-formen finnes i biologisk vev . Noen deler av DNA kan være venstehendt i form av Z-DNA med en annen rotasjonsretning enn vanlig DNA, og en mer zikk-zakk-formet struktur. Tvinnet spiral.
Stivelse
Amylose i stivelse er en heliks med glukosemolekyler i alfa-1,4-bindinger, α-D-glukose i α-1,4-glykosidbindinger.
Protein
I protein danner L-aminosyrene en høyrehendt heliks alfa-heliks (α-heliks), ca. 3.6 L-aminosyrer per runde i heliksen, Pauling-Corey-Branson-heliks. Strekninger hvor heliksen er rullet ut danner en β-form. Noen deler av proteinheliksen kan være venstrehendt i områder med mye av aminosyren L-glycin. En spiralstruktur kan inngå en superkveilet struktur, spiral som danner en mer kompleks spiral.
Spiralformete strukturer
Slyngplanter
I planteriket er det mange eksempler på spiralstrukturer. Hos slyngplanter kan stengelen slynge seg rundt et objekt i den ene eller andre retningen, genetisk bestemt av art, og er en av strategiene klatreplanter kan benytte for å skaffe seg mest mulig lys.
Slyngtråd
Slyngråden hos arter i erteblomstfamilien kan være formet som en spiral.
Spiralfortykkelser i cellevegger i ledningsvev hos planter
Sekundærveggene i vedrørselementer og trakeider i vedvevet (xylem) i ledningsvevet hos planter kan være formet som en spiral.
Veden i en trestamme som danner en heliks oppover stammen.
Virus
De ytre proteinene på flere virus som danner kapsid kan være organisert i en spiral.
Snegleskall
Noen snegleskall danner en spiral
Astronomi
Galakser danner spiralstrukturer og som roterer. Jorden roterer mot klokka, mot venstre når man ser sørover mot horisonten. Når "Sola står opp i Øst" skyldes det at Jorden roterer mot Øst når blikket er rettet mot syd. Ser man opp på stjernebildene på himmelen en vinternatt, for eksempel Orion, så flytter Orion seg mot høyre på nattehimmelen fordi Jorden dreier mot klokka. Alle plantene roterer på denne måten, unntatt Venus.
Antropogene spiralstrukturer
En vindeltrapp i et hus. Telefonkabelen til fasttelefoner. Spiralfjærer i gamle møbler og madrasser. Spiralformete kordeler i tauverk. Spunnet tråd. Gjengene på metallskruer. Korketrekker. Solenoid (elektromagnet). Partikler som følger en skrueformet bane i et magnetfelt.
Spiraler
Spiraler er kurver som starter fra et fast punkt og fjerner seg fra punktet ettersom kurven roterer rundt punktet, og skiller seg fra heliks omtalt foran hvor radius er konstant, men hvor spiralformen opptrer når den vises tredimensjonalt. Det er forskjellige typer spiraler: konisk spiraler, logaritmisk spiral, Arkimedes spiral, den gyldne spiral (Fibonaccispiral), Fermats spiral. Dessuten spiral som prevensjonsmiddel, P-spiral.
I planet, todimensjonalt, R2, så kan de forskjellige spiralformene uttrykkes i form av polarkoordinater (r, θ) hvor r er radius, avstanden fra startpunktet og theta (θ) er vinkelen i radianer fra x-aksen.
\(\displaystyle x (\theta)= r(\theta) \ cos \theta\)
\(\displaystyle y(\theta)= r(\theta) \ sin \theta\)
Logaritmisk spiral
I den logaritmiske spiral (vekstpiralen, lik vinkelspiral) som man finner igjen i mange strukturer i naturen, skallet til blekkspruten Nautilus, spiralene i romanescokål, spiralgalaksen Melkeveien, tropiske sykloner er:
\(\displaystyle x= r(\theta) \ cos \theta=a \cos \theta e^{b\theta}\)
\(\displaystyle y= r(\theta) \ sin \theta= a\sin \theta e^{b \theta}\)
\(\displaystyle r= a e^{b \theta}\)
\(\displaystyle \theta = \frac{1}{b} \ln \frac{r}{a}\)
hvor a og b er positive relle konstanter.
Kan også uttrykkes som:
\(\displaystyle r(\theta)= a e^{\theta \cot b}\)
\(\displaystyle \ln \frac{r}{a}=\theta \cot b\)
hvis b=0, tilsvarer 90o , π/2 radianer, så blir spiralen en sirkel.
Den logaritmiske spiralen ble studert av René Descartes i 1638. Jakob Bernoulli (1654-1705) ble den kalt den vidunderlige spiral (Spira mirabilis). Den logaritmiske spiral har tilknytning til det gyldne snitt og det gyldne rektangel.
Endring i radius, rate, i den logaritmiske spiralen er:
\(\displaystyle \frac{dr}{d\theta}= abe^{b\theta}=br\)
I den logaritmiske spiral er vinkelen konstant for enn linje fra sentrum av sprialen til en tangentlinje.Den gyldne spiral er et spesialtilfelle av den logaritmiske spiral hvor avstanden fra sentrum i spiralen øker med konstanten i det gyldne snitt 1.618...
Logaritmisk spiral for a= 1 og b= 0.1759, ca. 10o.
I kompleksplanet blir den logaritmiske spiral:
\(\displaystyle z= x + iy\)
\(\displaystyle e^{i \theta}= \cos \theta + i \sin \theta\)
\(\displaystyle z = ae^{(b+ i)\theta}\)
Heliks med økende diameter
Funksjon som gir en spiral med økende diameter:
\(\displaystyle x= \sqrt{t}\cos 2t\;\;\;\;\; y= \sqrt{t} \sin2t\;\;\;\;\;\;\;\; z= 0.1 t\)
Når rovfugler eller traner følger oppgående konveksjonsstrømmer skrur de seg oppover i form av en spiral. I en konisk spiral endrer radius seg i spiralen.
Arkimedes spiral
I Arkimedes spiral er:
\(\displaystyle r= a\theta\)
Arkimedes spiral
Fermats spiral
Fermats spiral
\(\displaystyle r= a\sqrt{\theta}\)
Fermats spiral for a= 1
Fermats spiral for a=1 og a=-1
Hyperbolsk spiral
\(\displaystyle r= \frac{a}{\theta}\)
Eulers spiral (klotoide, spiros)
Den gyldne spiral
Konstanten i det gyldne snitt phi (φ) er et irrasjonalt tall og løsningen av den kvadratiske ligningen:
\(\displaystyle \phi^2 -\phi-1=0\)
Ligningen har to løsninger og den positive verdien er:
\(\displaystyle \phi= \frac {1 + \sqrt{5}}{2}= 1.618033988...\)
Den andre løsningen
\(\displaystyle -\frac{1}{\phi}= 1- \phi= \frac {1 - \sqrt{5}}{2}= -0.618033988...\)
Forholdet mellom a og b er det gyldne snitt hvis a+b forholder seg til a som a til b:
\(\displaystyle \frac{a+b}{a}= \frac{a}{b} =\phi= 1+ \frac {1}{\phi}\)
Den gyldne vinkel er:
\(\displaystyle \frac{2\pi}{\phi ^2} \approx 137.507764^o \approx 2.3999632 \;\text{radianer}\)
Den gyldne spiral, Den gyldne sirkel, det gylde rektangel, det gyldne pentagon er andre eksempler på hvor det gyldne snitt inngår.
Et Fibonaccitall F(n) kan uttrykkes via det gyldne snitt:
\(\displaystyle F(n) = \frac{\phi ^n-(1-\phi)^n}{\sqrt{5}}\)
og forholdet mellom to påfølgende tall i Fibonaccirekken nærmer seg det gyldne snitt:
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}\)
I den gyldne spiral øker avstanden fra utgangssentert i spiralen med gyldne snitt phi (φ) for hver kvadrant (π/2 radianer= 90o) man beveger seg utover spiralen.
Grønn kurve x =(a cos(bθ))cos(θ) og y=(a cos(bθ)) sin(θ). Blå kurve: x =(a sin(bθ))cos(θ) og y=(a sin(bθ))sin(θ) rotasjon 0-8π.
x =(a sin(5/4θ))cos(θ) og y= (a sin(5/4θ))*sin(θ) for a=3, b= 2, rotasjon 0-8π
Man kunne tenke seg at oppkvelingen av dobbelheliksen i DNA med DNA-løkker som går ut fra sentrumkunne følge noe lignende disse.
Litteratur
R Core Team (2019). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL https://www.R-project.org/
Wikipedia