Buffons nål og pi

Buffons nål er en måte å bestemme verdien av π ved en metode beskrevet i 1777 av den franske naturvitenskapsmannen Georges-Louis Leclerc,  Compte de Buffon. Kast et bestemt antall knappenåler ned på et ark med parallelle streker med lik lengde som nålen.  Tell antall nåler,  og av disse antall nåler som berører eller krysser linjene. Det viser seg at sannsynligheten for at nålen skal krysse eller berøre en av linjene er relatert til pi (π).

Georges-Louis Leclerc,  Compte de Buffon (1707-1778) skrev det berømte verket Histoire Naturelle, générale et particulière, avec la description du Cabinet du Roi  som inneholdt omtrent alt som var kjent om naturvitenskap på den tiden. Buffon skrev også bidrag til Denis Diderots store Encyclopédie (Encyclopédie, ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers) sammen med Jean-Baptiste le Rond d'Alembert. Et leksikon som tilsvarer Wikipedia i dag.

Vi ser på et  generelt tilfelle hvor de parallelle linjene har avstand B og lengden av nålen L ≤ B. D er avstanden av midten av nålen til linjen. Vi lar nålen falle tilfeldig ned på linjearket. Vinkel mellom nålene og de parallelle linjer er theta (θ). Hva er sannsynligheten for at nålen vil berøre en av linjene ?

Buffons nål

Både D og vinkelen θ er tilfeldige variable. Nålen vil berøre linjen hvis:

\(D < \frac{L}{2} sin\theta\)

D og θ varierer mellom:

\(0<D<\frac{B}{2} \; \; \; \;0<\theta<2\pi\)

Buffons nål

Monte-Carlo simulering ved å trekke ut n=10000  pseudotilfeldige punkter (x, y) fra en uniform fordeling i området x=[0, π],  y=[0, 0.5]. n=10000 , plassert henholdsvis over og under funksjonen \(\frac{1}{2}sin \theta\)

Arealet av rektangelet AR blir:

\(A_R=\pi \frac{B}{2}\)

Arealet under sinuskurven As blir:

\(A_s=\int_0^\pi \frac{L}{2}sin \theta \; d\theta=L\)

Sannsynligheten for at nålen skal treffe eller berøre en av linjene er forholdet mellom buearealet og rektangelet. Sannsynligheten P for at nålen berører en av tverrlinjene blir forholdet mellom arealet under sinuskurven og arealet av rektangelet:

\(P=\frac{A_S}{A_R}=\frac{L}{\pi\frac{B}{2}}=\frac{2L}{\pi B}\)

Vi finner verdien for pi (π):

\(\pi=\frac{2L}{B}\frac{1}{P}\)

En binomial fordeling består av en serie med uavhengige forsøk,  Bernoulli-eksperimenter,  som har to mulige utkomme. Når ei nål slippes ned på et ark med parallelle linjer med samme avstand mellom dem er det to muligheter: enten krysser eller berører nålen en av linjene (1) eller ingen av linjene berøres eller krysses (0).

Utfallsrommet S blir: S={ikke krysse/berøre, krysse/berøre}

Vi kan betrakte det ene utfallet som suksess og det andre utfallet som ikke-suksess. Summen av disse blir lik n som er antall Bernoulli-forsøk, som til sammen vil følge en binomial sannsynlighetsfordeling:

Forventet verdi (gjennomsnitt) for en binomial sannsynlighetsfordeling er:

\(E(X)= np\)

Vi får da for antall krysninger eller berøringer k:

\(k=n\frac{2}{\pi} \space \space\frac{2n}{k}=\pi\)

\(\pi=\frac{2}{P}=\frac{2n}{k}\)

Vi kan uttrykke P som antall suksess k (berøre streken) dividert på antall kast (n):

\(P=\frac{k}{n}\)

Arealet av hele rektangelet er π/2,  og buearealet er integralet fra 0-π,  hvis B=L=1

\(\int_0^\pi \frac{1}{2}sin \theta \; d\theta=1\)

Sannsynligheten P for treff/kryssing/berøring  (forholdet mellom buearealet og rektangelet):

\(P=\frac{1}{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}\)

Beregne π ut fra formelen for normalfordelingskurven

Totalarealet under sannsynlighetstetthetsfunksjonen for normalfordelinen N(μ, σ2) er lik 1. Toppen av kurven er ved x = μ og høyden av toppen er lik 1/(σ√2π).

\(f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{X-\mu}{\sigma} \right)^2}\)

Normalfordelingen kan parallellforskyves  og skaleres. En slik forskyvning og skalering brukes når man lager standard normalfordeling N(0, 1) hvor gjennomsnittsverdien μ = 0 og standardavviket σ=1.

Sannsynlighetstetthetsfunksjonen f(x) for standard normalfordeling:

\(f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \space \space -\infty <x<\infty\)

Vi vet at arealet under sannsynlighetstetthetsfunksjonen er lik 1:

\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx= 1\)

Skal dette være oppfylt må:

\(\sqrt{2\pi}=\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{x^2}{2}}dx\)

\(\pi \approx\frac{\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{x^2}{2}}dx\right)^2}{2}\)

Estimat av pi

Numerisk integrasjon av denne funksjonen gir 2.506628.., og estimatet av π blir i dette tilfellet ca.  π= 3.141593..

π beregnet fra omskrevet polygon

De første forsøk på å beregne arealet av en sirkel ble gjort med en sirkel innskrevet i et kvadrat med side d, hvor hver av sidene er delt i 3. Inne i kvadratet er det også innskrevet en åttekant.

Beregning av pi

Arealet av det store kvadratet er 9/9d2. Arealet av åttekanten som ca. er lik arealet (A) av sirkelen blir d2 minus arealet av trekanter i hvert hjørne: 4∙½∙(d/3)2=2/9d2.

Det vil arealet av sirkelen er ca. kvadratet av 8/9-deler av diameteren.

Arkimedes fra Syracuse (287-212 f.kr.) berømt for oppfinnelser som den Arkimedes skrue, vektstangprinsippet, oppdrift og vektendring i vann.

Man hadde funnet at det var en proporsjonalitet mellom omkretsen (O) og diameteren (d) til en sirkel:

\(\text{Omkrets}= \pi \cdot \text{diameter}\)

Arkimedes kunne vise at arealet av en sirkel var:

\(\text{Areal}=\pi r^2\)

Ved å plassere en sirkel med et innskrevet og omskrevet mangekant (polygon) og øke antall sider i polygonet fra s6-s96 fikk han en relativt nøyaktig verdi av pi (π).

Beregning av pi

Hvor sn er siden i et innskrevet polygon med n sider, r er radien i sirkelen, rn er høyden i trekanten, tn er lengden av siden i det omskrevne polygonet, hvor tn blir en tangent med berøringspunkt til sirkelen ved 1/2tn.

Hvis sirkelen er innskrevet med en regulær sekskant med s6=1 så blir t6=1/√3

Regulær sekskant innskrevet i en sirkel. Avstanden fra origo til en av sidene blir

\(4 \cdot \sqrt{3}\)

Arealet (An) og perimeter (Pn) til det innskrevne polygonet blir:

\(A_n=n \cdot\frac{1}{2}r_ns_n\)

\(P_n = n \cdot s_n\)

Tilbake til hovedside

Publisert 19. des. 2018 12:41 - Sist endret 11. des. 2019 14:50