Gravitasjon og akselerasjon

Gravitasjon (tyngdekraften) er en kraft som påvirker alle fysiske objekter som er laget av masse.  

Akselerasjon er endringen i hastigheten (fartsendring) for et objekt forårsaket av netto krefter som påvirker objektet (Newtons andre lov), målt med måleenhet meter per sekund i andre potens (m s-2).

Gravitasjonskreftene (F) som virker mellom massene m1 og m2 med avstand r mellom dem er lik:

\(\displaystyle F=\frac{G m_1 m_2}{r^2}\)

G er gravitasjonskonstanten 6.67∙10-11 N m2 kg-2.

I fysikktimene i gymnasiet (gr. gymnos - naken) brukte graviditetskonstanten, kvadrert avstand og tiltrekning mellom masser som huskeregel. 

Newton frimerke

Enheten for kraft er newton (N). Gravitasjonskraften som virker på et objekt kalles vekt (w). Massen til et objekt er vekten dividert på tyngdens akselerasjon (g).

\(\displaystyle m=\frac{w}{g}\;\;\; \; w=mg\)

Enheten for masse er kg. 1 newton (N) er:

\(\displaystyle 1N = 1\; kg\; ms^{-2}=\frac{kg\; m }{s^2}\)

Et objekt med gravitasjonsmasse 1 kg veier 9.8 N:

\(\displaystyle w=mg= 1\; kg \cdot 9.8\; ms^{-2}= 9.8\; N\)

Vekten av et objekt  med masse 60 kg har vekt 60∙9.8=588 N. Vekten balanseres av et motsatt rettet kraft som er like stor som vekten. Kraften som trekker 1 kg masse nedover er 9.81 N.

Hvis en person med masse 70 kg skal gå opp en stigning på 100 meter trengs følgende energimengde 68670 J

70 kg · 9.81 m/s2·100 m = 68670 J

Hvis denne stigningen skal gjøres på 10 minutter=10∙60s så vil energibehovet være 114 W. Det vil si kroppsvekten teller når man skal gå på ski opp en "monsterbakke". 

Tetthet ρ (rho) er masse dividert på volum målt i kg m-3:

\(\displaystyle \rho= \frac{\text {masse}}{\text{volum}}\)

Newtons første lov: Et objekt som er i hvile fortsetter å være i hvile. Et objekt i bevegelse fortsetter å bevege seg i rett linje med konstant hastighet.

Newtons andre lov: Kraft (F) er masse (m) ganger akselerasjon (a)= hastighetsforandring:

\(\displaystyle F=ma\)

Hastigheten v(t) til et objekt som beveger seg i rett linje et veistykke x som funksjon av tiden er:

\(\displaystyle v(t)= \frac{dx}{dt}\)

Objektet endrer også posisjon og forflytningen langs linjen er i tidsintervallet [a,b] lik:

\(\displaystyle\text{forflytning}=\displaystyle\int_a^b v(t) dt\)

Hvis hastigheten endrer seg med tiden kalles det akselerasjon a(t) Hvis a(t)>0 så øker hastigheten og er a(t)<0 så minsker hastigheten:

\(\displaystyle a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2 x}{dt^2}\)

Forandring i hastighet i tidsintervallet [a,b] kan uttrykkes som et integral:

\(\displaystyle \text{endring i hastighet}= \displaystyle\int_a^b a(t) dt\)

Hvis vi har et objekt som beveger seg med hastighet v(t) langs x-aksen så vil objektet befinne seg ved posisjon x, hvor a akselerasjon og v0 starthastighet er konstanter:

\(\displaystyle x= v_0t+\frac{1}{2}at^2\)

Hastigheten til objektet v(t)=dx/dt blir:

\(\displaystyle v(t)=\frac{dx}{dt}=v_0 + at\)

Hvis et objekt faller og bare påvirkes av tyngdens akselerasjon (g=9.8 m/s2) så blir:

\(\displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{d^2 x}{dt^2}=-g \;\;\;\; \text{hvor v(0)}=v_0 \)

Vi løser differensialligningen. Hastigheten ved t=0 kalt v0 er lik integrasjonskonstanten c og vi får:

\(\displaystyle v= v_0 + gt\)

Forflytningen, her kalt høyden h, er lik integralet av hastigheten (se over):

\(h=\displaystyle\int(v_0 + gt)dt=\frac{1}{2}gt^2+v_0t + h_0\)

Hvis vi slipper en stein fra høyden h0 over bakken så vil høyden til steinen etter t sekunder være gitt ved:

\(\displaystyle h(t)=h_0 -4.9 t^2\)

Den deriverte av høyden (h´(t)) blir lik hastigheten i meter per sekund:

\(\displaystyle h'(t)=-9.8 t\)

Hvis vi kjenner hastigheten til et fallende objekt så kan vi finne høyden ved integrering.

Tyngdens akselerasjon g forårsaket av Jordens masse og rotasjon, gir akselerasjon for et objekt som faller i et gravitasjonsfelt er avhengig av breddegrad og høyde over havet, og er ved polene 9.832 m/s2, ved ekvator 9.780 m/s2.  og 9.80665 m/s2 ved havnivå og breddegrad 45.5o. Gravitasjonsfeltet og tyngdens akselerasjon er vektorfelt

Newtons gravitasjonslov angir størrelsen på gravitasjonsfeltet:

\(\displaystyle g= \frac{GM}{r^2}\)

hvor G er gravitasjonskonstanten 6,67430∙10-11 m3 kg-1 s-2 = N m2 kg-2. M er massen til Jordenog r er radius radius 6371 km= 6.371∙106 m. Liten g blir brukt om gravitasjonsfeltet på Jorden.

Henry Cavendish (1731-1810) beregnet massen og tettheten av Jorden,  og i Cavendish eksperiment målte han gravitasjonskreftene mellom masser med en torsjons balansevekt med en torsjonsfiber som kan måle små krefter. Vi kan bruke formelen over til å lage et estimat av Jordens masse:

\(\displaystyle M= \frac{gr^2}{G}= \frac{9.80665\; ms^{-2} \cdot\; (6.371 \cdot 10^6\;m) ^2\;}{6.674 \cdot 10^{-11}\;m^3kg^{-1}s^{-2}}= 5.964165\cdot 10^{24}\; kg\)

Hvor sterke er gravitasjonskreftene som virker mellom et elektron og proton ?

\(\displaystyle F=\frac{G m_1 m_2}{r^2}=6.67 \cdot 10^{-11}Nm^2kg^{-2}\frac{(1.67 \cdot 10^{-27}kg)(9.11 \cdot 10^{-31}kg)}{(5.29 \cdot 10 ^{-11})^2 m^2}=3.63 \cdot 10^{-47}N\)

I atomær skala er gravitasjonskreftene omtrent uten betydning. Imidlertid, det er gravitasjonskreftene som gjør at planetene er runde, i motsetning til asterioder i asteroidebeltet som har mange forskjellig former. Objektene må ha over en bestemt størrelse for at gravitasjonskreftene blir sterke nok til å lage kuleform, jfr asteroider har ikke kuleform. For å lage en selvgraviterende kule på et steinobjekt må diameter >600 km, for is >400 km

Newton frimerke

Gravitasjonskreftene gjør at planetene går i ellipsebaner rundt Sola. For Merkur som er nærmest Sola er Einsteins relativitetsteori med i forklaringen på uregelmessigheter i Merkur-banen.

Tilbake til hovedside

Publisert 27. nov. 2019 12:33 - Sist endret 15. feb. 2021 12:01