Gravitasjonskreftene (F) som virker mellom massene m1 og m2 med avstand r mellom dem er lik:
\(\displaystyle F=\frac{G m_1 m_2}{r^2}\)
G er gravitasjonskonstanten 6.67∙10-11 N m2 kg-2.
Enheten for kraft er newton (N). Gravitasjonskraften som virker på et objekt kalles vekt (w). Massen til et objekt er vekten dividert på tyngdens akselerasjon (g).
\(\displaystyle m=\frac{w}{g}\;\;\; \; w=mg\)
Enheten for masse er kg. 1 newton (N) er:
\(\displaystyle 1N = 1\; kg\; ms^{-2}=\frac{kg\; m }{s^2}\)
Et objekt med gravitasjonsmasse 1 kg veier 9.8 N:
\(\displaystyle w=mg= 1\; kg \cdot 9.8\; ms^{-2}= 9.8\; N\)
Vekten av et objekt med masse 60 kg har vekt 60∙9.8=588 N. Vekten balanseres av et motsatt rettet kraft som er like stor som vekten. Kraften som trekker 1 kg masse nedover er 9.81 N.
Hvis en person med masse 70 kg skal gå opp en stigning på 100 meter trengs følgende energimengde 68670 J
70 kg · 9.81 m/s2·100 m = 68670 J
Hvis denne stigningen skal gjøres på 10 minutter=10∙60s så vil energibehovet være 114 W. Det vil si kroppsvekten teller når man skal gå på ski opp en "monsterbakke".
Tetthet ρ (rho) er masse dividert på volum målt i kg m-3:
\(\displaystyle \rho= \frac{\text {masse}}{\text{volum}}\)
Newtons første lov: Et objekt som er i hvile fortsetter å være i hvile. Et objekt i bevegelse fortsetter å bevege seg i rett linje med konstant hastighet.
Newtons andre lov: Kraft (F) er masse (m) ganger akselerasjon (a)= hastighetsforandring:
\(\displaystyle F=ma\)
Hastigheten v(t) til et objekt som beveger seg i rett linje et veistykke x som funksjon av tiden er:
\(\displaystyle v(t)= \frac{dx}{dt}\)
Objektet endrer også posisjon og forflytningen langs linjen er i tidsintervallet [a,b] lik:
\(\displaystyle\text{forflytning}=\displaystyle\int_a^b v(t) dt\)
Hvis hastigheten endrer seg med tiden kalles det akselerasjon a(t) Hvis a(t)>0 så øker hastigheten og er a(t)<0 så minsker hastigheten:
\(\displaystyle a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2 x}{dt^2}\)
Forandring i hastighet i tidsintervallet [a,b] kan uttrykkes som et integral:
\(\displaystyle \text{endring i hastighet}= \displaystyle\int_a^b a(t) dt\)
Hvis vi har et objekt som beveger seg med hastighet v(t) langs x-aksen så vil objektet befinne seg ved posisjon x, hvor a akselerasjon og v0 starthastighet er konstanter:
\(\displaystyle x= v_0t+\frac{1}{2}at^2\)
Hastigheten til objektet v(t)=dx/dt blir:
\(\displaystyle v(t)=\frac{dx}{dt}=v_0 + at\)
Hvis et objekt faller og bare påvirkes av tyngdens akselerasjon (g=9.8 m/s2) så blir:
\(\displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{d^2 x}{dt^2}=-g \;\;\;\; \text{hvor v(0)}=v_0 \)
Vi løser differensialligningen. Hastigheten ved t=0 kalt v0 er lik integrasjonskonstanten c og vi får:
\(\displaystyle v= v_0 + gt\)
Forflytningen, her kalt høyden h, er lik integralet av hastigheten (se over):
\(h=\displaystyle\int(v_0 + gt)dt=\frac{1}{2}gt^2+v_0t + h_0\)
Hvis vi slipper en stein fra høyden h0 over bakken så vil høyden til steinen etter t sekunder være gitt ved:
\(\displaystyle h(t)=h_0 -4.9 t^2\)
Den deriverte av høyden (h´(t)) blir lik hastigheten i meter per sekund:
\(\displaystyle h'(t)=-9.8 t\)
Hvis vi kjenner hastigheten til et fallende objekt så kan vi finne høyden ved integrering.
Tyngdens akselerasjon g forårsaket av Jordens masse og rotasjon, gir akselerasjon for et objekt som faller i et gravitasjonsfelt er avhengig av breddegrad og høyde over havet, og er ved polene 9.832 m/s2, ved ekvator 9.780 m/s2. og 9.80665 m/s2 ved havnivå og breddegrad 45.5o. Gravitasjonsfeltet og tyngdens akselerasjon er vektorfelt
Newtons gravitasjonslov angir størrelsen på gravitasjonsfeltet:
\(\displaystyle g= \frac{GM}{r^2}\)
hvor G er gravitasjonskonstanten 6,67430∙10-11 m3 kg-1 s-2 = N m2 kg-2. M er massen til Jordenog r er radius radius 6371 km= 6.371∙106 m. Liten g blir brukt om gravitasjonsfeltet på Jorden.
Henry Cavendish (1731-1810) beregnet massen og tettheten av Jorden, og i Cavendish eksperiment målte han gravitasjonskreftene mellom masser med en torsjons balansevekt med en torsjonsfiber som kan måle små krefter. Vi kan bruke formelen over til å lage et estimat av Jordens masse:
\(\displaystyle M= \frac{gr^2}{G}= \frac{9.80665\; ms^{-2} \cdot\; (6.371 \cdot 10^6\;m) ^2\;}{6.674 \cdot 10^{-11}\;m^3kg^{-1}s^{-2}}= 5.964165\cdot 10^{24}\; kg\)
Hvor sterke er gravitasjonskreftene som virker mellom et elektron og proton ?
\(\displaystyle F=\frac{G m_1 m_2}{r^2}=6.67 \cdot 10^{-11}Nm^2kg^{-2}\frac{(1.67 \cdot 10^{-27}kg)(9.11 \cdot 10^{-31}kg)}{(5.29 \cdot 10 ^{-11})^2 m^2}=3.63 \cdot 10^{-47}N\)
I atomær skala er gravitasjonskreftene omtrent uten betydning. Imidlertid, det er gravitasjonskreftene som gjør at planetene er runde, i motsetning til asterioder i asteroidebeltet som har mange forskjellig former. Objektene må ha over en bestemt størrelse for at gravitasjonskreftene blir sterke nok til å lage kuleform, jfr asteroider har ikke kuleform. For å lage en selvgraviterende kule på et steinobjekt må diameter >600 km, for is >400 km
Gravitasjonskreftene gjør at planetene går i ellipsebaner rundt Sola. For Merkur som er nærmest Sola er Einsteins relativitetsteori med i forklaringen på uregelmessigheter i Merkur-banen.
Litteratur
Wikipedia