Attraktor

Innen dynamisk modellering en mengde eller område hvor integrasjonstrajektorier samler seg (konvergerer). Attraktor er samling av punkter i et faserom. Limit syklus attraktor har trajektorier som lager konsentriske ringer i et faseplan og er karakteristisk for oscillasjoner e.g. van der Pol oscillator.

Trajektorier (integrallinjer) består av punkter i et faserom som i starten er nær hverandre som kan atskille seg raskt over tid og konvergerer mot attraktoren. For eksempel en pendel som svinger fram og tilbake kan beskrives av to koordinater x og y Plotter man x versus y har man et fasediagram for pendelen som viser kontinuerlige punktspor bestående av sirkler som får mindre og mindre diameter inntil pendelen stopper og henger rett ned. Dette er et punkt som angir et punkt som en fast attraktor.

Underlig ("strange") attraktor (kaotisk attraktor, fraktal attraktor) som er avhengig av initialbetingelsene.

Lorenz-attraktor

Lorens attraktor er eksempel på en underlig og kaotisk attraktor. Det vil si at den har en fraktalstruktur. Består av opprinnelig tolv ikke-lineære differensialligninger med tolv ukjente som meteorologen Edward Lorenz brukte til å beskriver konveksjonsstrømmer i atmosfæren brukt til å simulere endring i været. Lorenz reduserte antall ligningene til tre ligninger som viser termisk konveksjon i en boks, hvorav noen av løsningene er kaotiske. To løsninger i samme punkt er umulig, derfor vil ingen trajektorier krysser hverandre i et tredimensjonalt faserom.

\(\displaystyle \frac{dx}{dt}= \sigma (y-x)\)

\(\displaystyle \frac{dy}{dt}= -xz+ \rho x-y\)

\(\displaystyle \frac{dz}{dt}= xy-\beta z\)

Parameterverdier Rayleightall ρ=28, Prandtl tall σ=10 og β=8/3 (forholdet mellom bredde og høyde i boksen som omgir systemet). Prandtl tall er dimensjonsløst og angir ratio mellom viskositeten til luften og termisk konduktivitet. Rayleightall viser temperaturforskjell mellom topp og bunn i værsystemet.

Denne løsningen har gitt opphav til begrepet sommerfugleffekt. Viser punktskyene for løsninger med tre forskjellige inititalverdier, blå, rød, grønn.

Lorenz attraktor

Projeksjon i xz- faseplanet med tre forskjellige inititalverdier.

Lortenz attraktor x versus z

Projeksjon i xz. Det er denne som har gitt opphavet til begrepet sommerfugleffekt. Det ser ut som trajektoriene krysser hverandre men det er bare en artifakt i et todimensjonalt plot. Tredimensjonalt vil man se at ingen linjer krysser hverandre. Hvor mange kretser man har på hver side varierer upredikterbart. Kaos aperiodisk oppførsel i determinisitiske systemer hvor responsen er meget følsom for inititalbetingelsene.

Nøyaktig hvor attraktoren vil befinne seg er ukjent. Bevegelsen i systemet gjentar seg aldri, den er ikke-periodisk. Bevegelsen er følsom for initialbetingelsene. Langtidsprediktering blir umulig.

Lorenz attraktor y versus z

Prosjeksjon i yz-faseplanet.

Lorenz attraktor

Prosjeksjon i xy-faseplanet.

Hvis man har to trajektorer og ved et punkt x(t) på den ene så atskilles dette punktet på det andre trajektoriet med x(t) + δ (t), hvor delta (δ) er en vektor som angir størrelen på atskillelse. Anta at den i starten er ||δ|| ≈ 10-15, det vil si trajektoriene er tett sammen, men så skiller de lag ektremt raskt

\(\displaystyle ||\delta (t)|| \approx ||\delta(0)||e^{\lambda t}\)

λ ca. 0.9 kalles Lyapunoveksponenten, men egentlig finnes det n Lyapunoveksponenten i et n-dimensjonalt system.

\(\displaystyle \ln||\delta (t)|| \approx \ln ||\delta(0)|| + \lambda t \)

Et plot av ln||δ(t)|| versus t gir en stigende kurve med dumper, og hvor stigningskoeffisienten er lik Lyapunoveksponenten λ.

Lortenz-attraktoren har også blitt brukt til å beskrive ustabilitet i atmosfæren til andre planeter, lasere, dynamoer og demonstrert i Willem Malkus vannhjul.

Lorenz attraktor tidsserieplot x versus t