Sommerfugleffekten

Et eksempel fra et foredrag holdt av amerikanske meteorologen Edvard N Lorenz som viser hvordan det kan være mulig at små forstyrrelser i atmosfæren fra vingeslagene til en sommerfugl i Brasil flere uker seinere kan forårsake en tornado i Texas : Does a flap of a butterfly´s wings in Brazil set off a tornado in Texas (1972). Lorenz arbeidet ved MIT og oppdaget at startbetingelsene for værmodellene er svært avgjørende for resultatet. Fra løsningene av de matematiske ligningene som datamaskinen beregnet  viste det seg at små forskjeller i avrundingsregler for starttallene som inngikk i modellen kunne gi store effekter på sluttresultatet. En av løsningene Lorenz fant hadde form som en sommerfugl. I tillegg viste det seg at modellsystemet som skulle beskrive været oppførte seg uforutsigbart og kaotisk, og ga grunnlaget for en del av matematikken kalt kaosteori.  Sommerfugleffekten blir brukt å illustrere hvordan komplekse dynamiske systemer kan vise utforutsigbarhet

Den franske matematikeren Henri Poincaré hadde vist nytten av en geometrisk framstilling av løsningene fra differensialligninger som blir brukt til å modellere og beskrive tidsavhengige fenomener i naturen.

Sommerfugleffekt og løsninger av differnsialligninger

En av løsningene  av løsningene av differensialligningene fikk i faseplanet x versus y utseende som en sommerfugl. 

Lorenz fant at konveksjonsstrømmer i atmosfæren med stigende og synkende luft kunne bli beskrevet av tolve differensialligninger som han forenklet til tre ligninger,  hvor x er hastighet på rotasjonen av luftstrømmene,  positiv med klokka,  negativ mot klokka;  y er temperaturforskjell mellom stigende og synkende luft,  z er avvik fra linearitet i temperaturprofilen, t er tiden,   r er Rayleightall,  σ er Prandtl tall,  b aspekt ratio i en konveksjonssylinder (Deterministic nonperiodic flow J. Atmos.Sci. 1963, 20, 130). Startverdiene for Lorenz var σ =10,  b=8/3 og r=28.

\(\displaystyle \frac{dx}{dt}= \sigma (y-x)\)

\(\displaystyle \frac{dy}{dt}= -xz+ rx-y\)

\(\displaystyle \frac{dz}{dt}= xy-bz\)

Hvis løsningene x(t) blir plottet mot z(t) gir dette en figur vist ovenfor som ligner på en sommerfugl. Todimensjonalt ser linjer ut til å krysse hverandre, men det skjer ikke i en tredimensjonal grafisk framstilling for x, y og z. I et punkt på en linje kan det bare trekkes en tangent. Trajektoriet (integrallinjene eller løsnigslinjene) starter nær 0, svinger til høyre og inn i sentrum av en spiral på venstre side. Trajektoriet forlater spiralen etter å ha kommet en kritisk verdi vekk fra sentrum, og etter å ha gått i spiral spretter den over til høyre side,  går litt i spiral,  så over til venstre side,  går litt i spiral osv. Det blir seende ut som to sommerfuglvinger. Dette skyldes oppadgående og nedadgående luftstrømmer. Lorenz viste at det å kommer med en sikker værmelding langt fram i tid er vanskelig, for ikke å si umulig.
To trajektorier som ligger nær hverandre atskilles raskt og eksponensielt og kan beskrives via  Lyapunoveksponenten λ. Siden atskillelsen av løsningslinjene atskiller seg eksponentielt betyr det at man ikke skal veldig langt fram i tid før man ikke lenger kan forutsi hendelser eller fenomener med rimelig sannsynlighet.

Biologen Robert May oppdaget at det også fantes kaos og uforutsigbarhet i de logistiske vekstligningene. , hvor enkle ligninger kan vise kompleks resultater.

Kontingens og uforutsigbar framtid

Framtiden er uforutsigbar, en betrakning som ikke er overns med matematikeren Pierre-Simon Laplace (1749-1827) som mente at det ikke fantes utforutsigbarhet i Universet , en deterministisk betraktning formulert som tankeeksperimentet "Laplaces demon" (1814). Laplace mente at hvis vi kjente plassen, bevegelsen og energien til alle atomer og molekyler og alle de fysiske kreftene  i Universet så kunne man ut fra naturlovene beregne alt fra fortid og langt inn i en evig framtid i en determinisk verden.  Vi liker å tenke at det er naturorden og faste strukturerer og lover i Universet og solsystemet vårt, men det stemmer ikke. Kontingens kan forklare fortiden, men ikke fremtiden. Kontingens (l. contingentia) betyr mulighet, det vil si noe kan både være eller ikke være i fremtiden. Fremtidens hendelser kan ikke predikteres med absolutt sikkerhet. Hvis evolusjonen er kontingent så betyr det implisitt at den er uforutsigbar. Biologen Stephen Jay Gould spektulerte i boka Wonderful life (1989) om hva ville ha skjedd det var mulig å gå tilbake til utgangsbetingelsene for evolusjonen og så starte evolusjonen av livet på Jorden helt på nytt en gang til. Spill «livet på nytt».  Evolusjonshistorien, historien til menneskeheten og livet til hver enkelt av oss er en unik kombinasjon av tilfeldige hendelser. Nesten ufattbare komplekse nett og permutasjoner av årsak og virkning, hvor en hendelse i framtiden avhenger av hva som skjedde i fortiden, en lotterieffekt. Verden er ikke deterministisk, selv om man i Newtons mekaniskk finner determinisme, så viser "trelegemeproblemett" at banene til Jord, Sol og Måne ikke kan beskrives med Newtons lover grunnet kaos og bittesmå endringer i initialbetingelser (jfr. Poincarés løsningsforslag. Vi har ikke perfekt kunnskap om alle detaljer målt med uendelig presisjon. Datamaskiner har en begrenset presisjon i behandling av uendelige store tall, det blir alltid igjen en tallrest når man forhøyer. 

Filosofiske betraktninger om determinisme, moral og fri vilje

Tankene bak Sommfugleffekten har spredd seg og blir brukt i andre sammenhenger enn den opprinnelig var tiltenkt. Ifølge René Descartes: «Allting har en årsak» og «Ingenting kommer fra ingenting». 

De andre løsningene av ligningene

Figuren over viser fasediagrammet for integrallinjene x versus z. De to andre fasediagrammene gir ikke den samme illustrerende sommerfugler.

Sommerfugleffekt y versus z

Figuren viser fasediagrammet for integrallinjene for y versus z. Legg merke til at løsningslinjene ikke forsvinner ut i intet, de går i løkker fram og tilbakesamler seg og har en ytre begrensning, kalt Lorenz attraktor. Det er et system som aldri når likevekt og kalles også underlig ("strange") attraktor. Rõsslerattraktor ligner på Lorenzattraktor og får form som en blekksprutskall, mens Hénons avbildning ager en boomerangformet struktur. Matematikeren Stepen Smale laget en modell kalt Smales hesteskoavbildning som omhandler kaosbetraktninger, utviklet da Smale arbeidet med van der Pol oscillator. Den minner om hvordan man lager wienerbrød ved å rulle ut deigen, brette, rulle på nytt osv.  

Benoit Mandelbrot viste hvordan gjentatte interasjoner og regneoperasjoner på enkle komplekse tall kan framvise avanserte geometriske strukturer (fraktaler).

Sommerfugleffekt x versus y

Figuren viser løsningslinjene for x versus y.

Tidsseriediagram for x

Figuren viser tidsutviklingen for x i ligningene vist over, og etter en viss tid følger ikke linjene et fast mønster, men begynner å opptre kaotisk. 

Kvantemekanikk og kvantefysikk koblet til molbegrepet viser på mikronivå et astronomiske antall kombinasjonsmuligheter.

Prediksjon er vanskelig, spesielt om fremtiden. Niels Bohr

Begrepet sommerfugleffekt er også brukt om følgene av Russlands brutale angrepskrigføring i Ukraina.

Løsning av differnsialligningene vist over er gjort med ODE-solveren deSolve i R.

Tilbake til hovedside

Publisert 28. okt. 2020 14:05 - Sist endret 27. juni 2022 10:02