Euler-Lotka ligningen benyttes i studiet av aldersstrukturert demografi. Vi lar B(t) være summen av antall fødsler per tidsenhet i alle aldersklasser.
\(B(t)=\displaystyle\int_0^kB(t-x)l(x)b(x) dx\)
hvor l(x) sannsynligheten for å overleve til alder x, b(x) erper capita fødselsrate, k er levetid.
Fødsler for en eksponentiell populasjon er på formen:
\(B(t)= Ce^{rt}\)
Vi setter dette inn i integralet:
\(Ce^{rt}=\displaystyle\int_0^k Ce^{r(t-x)}l(x)b(x) dx\)
Dividerer på Cert:
\(1=\displaystyle\int_0^k e^{-rx}l(x)b(x) dx\)
En diskret form av denne blir:
\(1=\displaystyle\sum_ {x=0}^k e^{-rx}l(x)b(x)\)
Lotka-Eulers karakteristiske ligning for en aldersstrukturert populasjon bestemt av b(x) og l(x) vil alltid gi en veldefinerte vekstrate r.
Vi kan bestemme den stabile aldersfordelingen hvor c(x) er andelen med alder x straks den stabile vekstraten er nådd:
\(c(x)=\displaystyle\frac{e^{-rx}l(x)}{\int_ 0^k e^{-rx}l(x) dx}\)
eller i diskret form:
\(c(x)=\displaystyle\frac{e^{-rx}l(x)}{\sum_{x=0} ^k e^{-rx}l(x) dx}\)
Selv om Lotka-Eulers ligning bare gir r i form av et integral kan dette bestemmes numerisk.
Euler-Lotka ligningen kan også brukes til å beregne reproduktiv verdi v(x), relativt antall avkom som gjenstår å bli født hos individer i en gitt aldersklasse. Reproduktiv verdi er antall avkom produsert av individer med alder x eller eldre dividert på antall individer ved alder x. Vi benytter Euler-Lotka-ligningen for å finne teller og nevner i dette ratio.
Antall individer ved alder x er antall avkom ved tid x multiplisert med sannsynligheten for å overleve til alder x, som er:
\(e^{-rx}l(x)\)
Produksjonen av avkom blir:
\(\displaystyle\int_ x^k e^{-ry}l(y)b(y) dy\)
hvor y=x+1
Reproduktiv verdi v(x):
\(v(x)=\displaystyle\frac{\int_ x^k e^{-ry}l(y)b(y) dy}{e^{-rx}l(x)}= \frac{e^{rx}}{l(x)}\int_x^k e^{-ry}l(y) b(y) dy\)
En diskret utgave av denne blir:
\(v(x)= \displaystyle \frac{e^{rx}}{l(x)}\sum_x^k e^{-ry}l(y) b(y) dy\)
Venstre egenvektor til Leslie-matrisen er vektorer for reproduktiv verdi, den høyre egenvektor angir den stabile aldersfordeling. Reproduktiv verdi til nyfødte settes lik 1, v(0)=1, og for de seinere aldersklassene måles reproduktiv verdi i forhold til nyfødte. v(4)=3 vil si at fire år gamle individer produserer tre ganger så mange avkom i forhold til en nyfødt. Reproduktiv verdi angir hvilken del av populasjonen som har størst betydning for framtidig vekst. I populasjoner med aldersstruktur opprettholdes maksimal populasjon ved å høste individer med lav reproduktiv verdi. I forvaltning av hjortedyr betyr det bl.a. skyting av kalv. For en logistisk vekstmodell beholdes maksimal populasjon ved å høste slik at populasjonen holder seg ved halvparten av bærekapasiteten (K/2).
Overgangen i livsstadier kan beskrives i en transisjonsmatrise. En lukket populasjon uten imigrasjon og emmigrasjon er lite realistisk under naturlige forhold. Det finnes metapopulasjoner på både lokalt og regionalt nivå, fordelt på oppdelte habitater. Imigrasjonsraten er andelen habitater som blir kolonisert per tidsenhet. En populasjon kan ha lokal ekstinksjon, men som gir ledig habitat for imigrasjon fra en stabil kildepopulasjonen med emmigrasjon.
Suksesjon er endring i samfunnsstruktur. Primær suksesjon er organismer som inntar et område etter tilbaketrekking av en isbre eller etter vulkanutbrudd. Sekundær suksesjon skjer i et etablert økosystem som er utsatt for forstyrrelser (skogbrann, stormm, flom, hogst, urbanisering). Et økosystem kan beskrives, organiseres og klassifiseres som lett gjenkjenbare dyre- og plantesamfunn, som grassletter, buskvegetasjon og skog. Skifte mellom slike stadier kan beskrives via transisjonsmatriser. Endringer i populasjoner er også påvirket av stokastisitet og random-walk.
Overlevelsemodeller angir tiden før en hendelse skjer med en eller flere av de kovariable. Proporsjonale hasardmodeller (e.g. Cox) er en type overlevelsesmodeller. Økning med en enhet av de kovariable vil gi en multiplikativ økning i hasardraten. Det er likhetstrekk mellom proporsjonale hasardmodeller og Poisson regresjonsmodeller.