Noen typer grupper er: Permutasjonsgrupper, matrisegrupper, transformasjonsgrupper, symmetrigrupper, abstrakte grupper, representasjonsgrupper og endelige grupper.
Representasjonsteori omhandler studiet av abstrakte algebraiske strukturer og representasjon av disse som lineære transformasjoner i et n-dimensjonalt vektorrom. De algebraiske gruppene blir behandlet i gruppeteori og Lie-algebra. Viser hvordan algebraiske strukturer påvirker objekter e.g. polyoner utsatt for refleksjoner (speilinger) og rotasjoner
Den japanske matematikeren Masaki Kashiwara (f.1947) fikk Abelprisen 2025 «for hans grunnleggende bidrag til algebraisk analyse og representasjonsteori, spesielt utviklingen av teorien om D-moduler og oppdagelsen av krystallbaser». Kashiwara har arbeidet med representrasjonsteori med å kombinere de trefagområdene abstrakt algebra, analyse og løsning av differensialligninger samt geometri. Sophus Lie og og den franske matematikeren Henri Poincaré (1854-1912) var av dem som kombinerte geometri med analyse av differensialligninger. De fleste differensialligninger lar seg ikke løse analytisk, bare numerisk og man kan ikke forutsi om de i det hele tatt har en løsning. Jules Henri Poincaré er en av Frankrikes mest kjente matematikere med fundamentale arbeider i mange matematiske disipliner algebraisk geometri, kompleks analyse tallteori og Lie-teori Poincaré løste 3-legemeproblemet med tre himmelobjekter R3-rommet i 18-dimensjoner og dermed videreutviklet i n-legemeproblemet.
Sophus Lie (1842 - 1899) malt av Erik Werenskiold. Wikimedia Commens
Henri Poincaré. Wikimedia Commens
Klassifisering av endelige enkle grupper i kategoriene sykliske grupper i primtallsorden, alternerende grupper med grad >5 og Lie-typen grupper (sporadiske) med en avledet Tits-gruppe. Gruppeteorien har egne aksiomer og regneoperasjoner.
Sophus Lie og symmetrigrupper
Sophus Lie er Norges mest kjente internasjonale matematiker. Det er underlig at ikke finnes et norsk frimerke med hans portrett når man ser hva som er blitt laget av Abel-frimerker, samt Abel-monumentet.
Gruppeteori er en grein av metaetikken som anvender algebraiske metoder i behandling av symmetrier. Sophus Lie introduserte teorien om infinitesimale transformasjoner, nå kalt Li-grupper og tilhørende Lie-algebra anvendt innen geometri og i teori om differensialligninger. Det var Hermann Weyl som i 1934 introduserte begrepet Lie-algebra. Lie-teori og Lie-grupper er hvor geometri i rommet blir bestemt av grupper og deres symmetrier. Lie-gruppe Lie-algebra korrespondanse mellom Lie-gruppe og Lie algebra og vice versa. Lie-algebra i et vektorrom e.g. alle mulige grupper på en manifold Lie-grupper av rotasjon i rommet hvor hver vektor v i R3 kan bli avbildet som en uendelig rotasjon runt aksen.
Sophus Marius Lie (1842–1899) ble født 1842 i Nordfjordeid. Lie gikk på Nissens Latin- og Realskole Christiania, i 1859 studerte Lie realfag Det Kongelige Fredriks Universitet i Christiania (botanikk, zoologi, astronomi, fysikk og matematikk). Lie ble kjent med den tyske matematiker og fysiker Julius Plücker (1801 -1868) som arbeidet med analytisk geometri (koordinatgeometri), et fagområde grunnlagt av René Descartes i Discours de la méthode (1637). I 1869 reiste Sophus Lie til Göttingen og Berlin hvor han møtte den tyske matematikeren Felix Klein (1849–1925) i Berlin 1870, men også Leopold Kronecker og Karl Weierstrass.
Felix Klein arbeidet med gruppeteori og ikke-euklidsk geometri og Sophus Lie og Klein samarbeidet om gruppeteori og fant asymptotiske linjer på Kammerer-overflater, først studert av Ernst Kummer. Klein-symmmetrigruppen til geometrisk objekt er gruppen av alle transformasjoner hvorved objektet er invariant. For et tetraeder er invariant ved 12 forskjellige rotasjoner. I 1872 publiserte Felix Klein Erlangenprogrammet som omhandlet geometri og gruppeteori: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Navn etter Universitetet i Erlangen-Nürnberg.
Lie reiste videre til Paris sommeren 1870 hvor han besøkte den franske matematikeren Camille Jordan (1838-1922) som arbeidet med gruppeteori, Galois teori, og har gitt navn tilJordan-kurve teoremet. Lie ble også kjent med matematikeren Jean-Gaston Darboux (1842-1917. Lie var avhengig av å gåturer for å redusere depressive tanker. Den Fransk-Prøyssiske krig startet 18. juli 1870 og Lie ble på en av sine gåturer arrestert for å være tysk spion, men ble frigitt med hjelp fra bl.a. Darboux. Lie tok sin doktorgrad i 1871 med avhandlingen Over en Classe geometriske Transformationer og i1872 fikk han et ekstraordinært professorat i matematikk ris et Kongelige Frederiks Universitet i Christiania.
E8
Den ekstraordinære Lie-gruppen E8 med 248 dimensjoner. Fra Wikimedia Commens.
Lie-gruppen E8 har 248 dimensjoner med maksimal torus vektordimensjon 8, et åttedimensjonalt vektorrom og rotsystem i kompleksplanet (Lie-algebra) og matriseregning. E8 blir anvendt innen teoretisk fysikk og superstrengteori. En manifold kan i enkleste form være en sirkel eller kule. En Lie-gruppe er en gruppe av symmetrier. En sirkel har en kontinuerlig gruppe av symmetrier, en sirkel som roteres ser helt lik ut.
Lie var interessert i å løse matematiske ligninger og Lie oppdaget hva som lå symmetriene i ligningene, og at denne symmetrien var Lie-grupper. Klassifisering av Lie-grupper startet med klassifisering av kompleks Lit-algebra hvor Den tyske matematikeren Wilhelm Karl Joseph Killing 1847 – 1923) den franske matematikeren Élie Cartan (1866-1951) deltok. Cartan laget et rotsystem An, Bn, Cn og Dn (n =1, 2, 3..) med de ekstraordinære gruppene: G2 (14), F4 (62), E6 (78), E7133) og E8 (248) med antall dimensjoner i parentes. E8 er den mest avanserte.
Litteratur
Wikipedia