Volum-overflateforhold

Volum-overflateforhold - Jo mindre celler, desto større overflate i forhold til volumet.

Forholdet mellom overflate og volum har stor betydning for celler, cellevev og organismer. Økt overflate gir økt eksponering mot omgivelsene ifm. næringsopptak, gassutveksling og varmeveksling. Rothår i rotspisser, mikrovilli på den indre veggen av tynntarmen, greining av alveoler i lungene bidrar til økt utveklingsoverflate. I blader er det intercellularrom mellom mellom mesofyllcellene som gjør av karbondioksid (CO2) diffunderer raskt i gassfase og kommer i kontakt med store overflatearealer hvor CO2 i væskefase kan diffundere gjennom cellevegg, plasmamembran og kloroplastmembraner inn til stroma i kloroplastene. I røttene gir cellene i cortex store overflater som kan ta opp mineralnæring fra jorda. Stor overflater kan gi stort vanntap i tørre omgivelser eller stort varmetap i kalde strøk. Jfr. Bergmanns regel i biogeografi, introdusert av Carl Bergman i 1847, mest anvendt for endoterme pattedyr og fugler, og som sier at størrelsen av dyrene minker jo varmere klimaet er, og at jo kaldere desto større dyr.  I kalde områder gjelder det å holde på varmen, og i varme områder å kvitte seg med varmen. Allens regel (Joel Asaph Allen 1877) sier at dyr i varme områder er mer langstrakte, og de i kalde områder er mere runde. I varme områder er ytterekstremitetene som snute, ører lange og tynne, men i kalde områder er ytterekstremitetene mer runde og kompakte. Kuleformen er den som gir minst overflate i forhold til volumet. Hesses regel (Richard Hesse 1937) sier noe om forholdet mellom vekten av hjertet og kroppsvekten. I kalde områder er hjertevekten større enn kroppsvekten, sammenlignet med i varme områder. For mikroorganismer i vann vil økt overflate i forhold til volumet gi økt drag slik at de kan lettere holde seg flytende i overflaten.

For 5 regulære polyedere med sidekant lengde a og en kule med radius r har følgende overflateareal og volum:

Form Overflateareal Volum
Tetraeder med 4 likesidige trekanter \(a^2 \sqrt 3 \) \(\frac {a^3} {12} \sqrt 2\)
Kube med 6 kvadater \(6a^2\) \(a^3\)
Oktader med 8 likesidete trekanter \(2 a^2 \sqrt 3 \) \(\frac {a^3}{3} \sqrt 2\)
Dodekaeder med 12 regulære femkanter \(3a^2 \sqrt{5 \left( 5+2 \sqrt 5 \right) }\) \(\frac {a^3}{4} \left( 15 + 7 \sqrt 5 \right)\)
Ikosaeder 20 likesidete trekanter \(5a^2 \sqrt 3\) \(\frac {5a^3}{12} \left( 3+ \sqrt 5 \right)\)
Kule med radius r \(4 \pi r^2\) \(\frac {4} {3} \pi r^3\)

overflate volum

Figur 1 Forholdet mellom overflate og volum for noen platonske legemer og kule. Kula er den formen som har minst overflate i forhold til volumet.

Sammenheng mellom volum og radius for en kule

Figur 2. Volumet til en kule som funksjon av radius. 1000 cm3=1liter

\(Volum = \frac {4} {3} \pi r^3\)

ln radius versus ln volum

Figur 3 viser sammenhengen mellom den naturlige logaritmen til Radius versus logaritmen til volumet for en kule. Dette blir en rett linje med stigningstall (stigningskoeffisient) lik 3 og skjæring med y-aksen blir ved \(ln \left(\frac {4} {3} \pi\right)\)

\(ln \left( Volum \right) = ln \left(\frac {4} {3} \pi\right) + 3 ln\left( Radius \right)\)

Vi ser at dette er en rett linje av typen y=a + bx, hvor b er stigningstallet av a er skjæringspunkt med y-aksen (intersept).

Volum og overflate av en kule

Figur 4 viser sammenheng mellom volum og overflate for en kule. Ved liten radius er overflaten forholdsvis større enn volumet, men dette endrer seg ettersom radius øker. Som radius kan du velge måleenheter µm, mm eller cm, og de tilsvarende overflatene får i disse tilfellene måleenhet µm2, mm2 eller cm2, og volumene får måleenhet µm3, mm3 eller cm3.

Publisert 4. feb. 2011 10:57 - Sist endret 21. okt. 2016 10:41