Poiseuilles lov

Hagen-Poiseuilles lov. Angir trykkfallet i et sirkulært sylindrisk rør med en væske som ikke lar seg presse sammen og som har en laminær ikke turbulent strøm. Kan anvendes på væskestrøm i ledningsvevet hos planter, blodårer og blodkapillarer, luftstrøm i lungealveoler, og rørledninger, og gjelder også for gasser. Volumet av væske som beveger seg i et sylinderformet rør per tidsenhet er proporsjonal med fjerde potens av radius til røret.

Den franske fysiologen og fysikeren Jean Léonard Marie Poiseuille (1797-1869) studerte strøm av blod i tynne blodkapillarer og skrev dr.gradsavhandlingen Recherches sur la force du coeur aortique (1828)

\(\displaystyle \Delta P=\frac{8\eta l Q}{\pi r^4}\)

hvor ΔP er trykkendringen, eller trykktapet, l er lengden av røret µ er dynamisk viskositet Q er volumetrisk flytrate, publisert eksperimentelt 1838.

Den tyske sivilingeniøren Gotthilf Heinrich LudwigHagen (1797-1884) som arbeidet med hydraulikk og væskedynamikk studier av trykktap og radius på messingrør kom uavhengig av Poiseuille fram til en potenslov:

\(\displaystyle \Delta P \propto \frac{1}{r^4}\)

Uttrykt som volumstrøm

\(\displaystyle \text{Volumstrøm}= \frac{\pi r^4}{8 \eta}\frac{\Delta P}{\Delta x}\)

hvor r er radius til røret, eta \(\eta\) er viskositeten til løsningen, \(- \frac {\Delta P}{\Delta x}\) er den negative gradienten i hydrostatisk trykk. Loven forutsetter at væskestrømmen er laminær og virvelfri,  og ikke turbulent hvor det skapes virvler med luft eller væske. Vil man finne volumet som passerer per areal og tidsenhet får loven følgende form:

\(\displaystyle J = \frac{r^2}{8 \eta} \frac{\Delta P}{\Delta x}\)

Siden positiv strøm skjer i retning med minskende hydrostatisk trykk er minustegnet nødvendig. Væskestrøm har en analogi i elektrisitet og Ohms lov:

\(\displaystyle V= IR\)

For å beskrive væskestrøm i sylindriske kapillare rør benyttes Hagen-Poiseuilles lov, for eksempel væskestrøm i ledningsvev i planter, blodstrøm i blodårer eller vannstrøm i kapillarer i jord. Hagen (1839) og Poiseuille (1840) viste at væskestrømmen er proporsjonal med radius opphøyd i fjerde potens. Det betyr at økning av diameteren i ledningsvev fra trange trakeider til vedrør i xylemet med stor diameter har gitt en betydelig økning i transportkapasiteten for vann i busker og trær.

\(\displaystyle \text {Volumstrøm per rør} = -\frac {\pi r^4} {8\eta} \frac {\partial P} {\partial x}\)

hvor  η (eta) er viskositeten til væsken, r er radius i røret og \(-\frac{\partial P}{\partial x}\) er en negativ gradient i hydrostatisk trykk, P er trykk og x er lengde. Minustegnet viser at transporten skjer i retningen mot lavere hydrostatisk trykk. Det forutsettes at væskestrømmen er laminær og glatt,  og ikke turbulent med virvler, det vil si Reynoldstall < 1.

Er det en innsnevring i røret virker Bernoulliprinsippet , navn etter Daniel Bernoulli i Hydrodynamica (1738) hvor økningen i væskehastighet i en innsnevring skjer samtidig med en minskning i trykk, etter bevaringslover for energi. Økning i hastighet gir økning i kinetisk energi. For eksempel når en blodåre har en innsnevring så øker hastigheten.

Reynoldstall: laminær eller turbulent flyt

Reynoldstall er et dimensjonsløst tall blir brukt til beskrive strømmen av luft eller væske omkring objekter med forskjellig størrelse, eller når hastigheten for luft eller væske omkring et objekt øker. Jo mer turbulens et objekt lager, desto høyere Reynoldstall. Reynoldstall kan også uttrykkes som:

\(\displaystyle Re= \frac{\rho \space J \space d}{\eta} \)

hvor rho (\(\rho\)) er tettheten til løsningen, J er fluks per areal- og tidsenhet, d er diameteren til røret, og \(\eta\)er viskositeten.

Dynamisk viskositet skyldes den indre fiksjonen i væske eller luft og har måleenhet Pasal sekund (Pa s), den kraften som trengs for å bevege massen 1 kg 1 meter per sekund. Viskositeten til vann ved 20oC er 1.002·10-3 Pa s og ved 0oC: 1.8·10-3 Pa s. Viskositeten øker med lavere temperatur. Viskositet måles i poise.

Kinematisk viskositet η/δ er dynamisk viskositet (η) dividert på tettheten til væsken (δ).

Væskefluksen per areal og tidsenhet Jv blir:

\(\displaystyle J_v=-\frac {r^2} {8\eta} \frac {\partial P} {\partial x}\)

siden arealet i røret er πr2.

Det er mulig å forta en kobling mellom Darcys lov og Hagen- Poiseuilles lov for transport av væske i kapillære porer i jord.

Litteratur

Nobel PS: Physicochemical and environmental plant physiology. Academic Press 1991.

Publisert 4. feb. 2011 10:42 - Sist endret 3. okt. 2020 15:42