Kermack-McKendrick modellen fra 1927, gjenoppdaget av Anderson og May (1979) forutsetter en lukket poppulasjon, ser bort fra vaksine og demografi og antar lik alder og sosial struktur, hvor ingen dør eller fødes, og det er heller ingen immigrasjon og emigrasjon. Imidlertid er modellen velegnet for å vise prinsippene for epidemiologisk modellering og simulering av spredningen av et smitteutbrudd ut fra gitte modellparametre.
S(t), I(t) og R(t) er henholdsvis antall smittbare (suseptible), infiserte (infekterte) og restituerte (resistente) ved tidspunkt t, og N (t) er den totale populasjonen.
\(\displaystyle N= S + I + R\)
Parameter beta (β) er et mål på infeksjonsraten (overføringskoeffisient, overføringsrate) og gamma (γ) på raten for oppfriskning (restitueringsraten, tilfriskningsrate)
\(\displaystyle \frac{dS}{dt}= - \beta SI\)
\(\displaystyle \frac{dI}{dt}= \beta SI - \gamma I\)
\(\displaystyle \frac{dR}{dt}= \gamma I\)
dS/dt, dI/dt og dR/dt angir endringen i antall individer per tidsenhet. Det er viktig at måleenhentene får samme benevning på hver side av likhetstegnet. Vi velger å bruke antall individer per 100000 (ind/htu), og tidsenhet dag (d) som tidsenhet for t. N, S, I og har felles benevning. Man kunne også ha valgt antall individer per arealenhet e.g. km2.
Vi ser først på:
\(\displaystyle \frac{dS}{dt}= - \beta I S\)
som bestemmer måleenheten for infeksjonsraten β:
\(\displaystyle \frac{\frac{ind}{htu}}{d}= \beta \frac{ind}{htu}\frac{ind}{htu}\)
\(\displaystyle \beta=\frac{htu}{ind\cdot d}\)
Beta (β) er gjennomsnitts antall kontakter per individ og tid.
Vi bruker endring i antall restituerte for å finne måleenheten for restitueringsraten γ som gir måleenhet per tidsenhet (d-1)
\(\displaystyle \frac{dR}{dt}= \gamma I\)
\(\displaystyle \frac{\frac{ind}{htu}}{d}= \gamma \frac{ind}{htu}\)
\(\displaystyle \gamma= \frac{1}{d}\)
Simulert eksempel med startbetingelser S=90000 ind/htu, I= 20 ind/htu, β= 0.000001, γ=0.04, tid=dager (d). Ligningene løst med odesolver i R.
Reproduksjonstall
Reproduksjonsrate Ro:
\(\displaystyle R_0= \frac{\beta S}{\gamma}\)
Hvis reproduksjonstallet R0<1 så vil hver infisert individ infektere mindre enn en person og sykdommen vil dø ut. For R0>1 så vil hvert infisidert individ infekter enn en person og smitten øker i omfang. Epidemien sprer seg inntil S blir så lav at R0=1, deretter minker den.
Vi ser at R0 har en dimensjonsløs måleenhet:
\(\displaystyle R_0= \frac{\beta S}{\gamma}= \frac{\frac{htu}{ind\cdot d}\frac{ind}{htu}}{\frac{1}{d}}\)
Fasediagram
N er konstant
\(\displaystyle N= S + I + R\)
Det vil si:
\(\displaystyle \frac{dN}{dt}=0\)
\(\displaystyle \frac{dS}{dt}+ \frac{dI}{dt}+\frac{dR}{dt}=0\)
\(\displaystyle \frac{dS}{dt}=-\frac{dI}{dt} -\frac{dR}{dt}= -(\beta IS- \gamma I)-\gamma I= -\beta IS\)
Fasediagrammet viser antall smittbare versus antall infiserte, angitt som antall individer per 100000. Ved starten av epidemieksemplet er R0= 2.25 og epidemien sprer seg. Når antall smittbare har antallet 40000 per hundre tusen blir R0= 1, på toppen av kurven og etterhvert dør epidemien ut når antall smittbare synker og R0<1.
Litteratur
Anderson, R M & May, R M: Population Biology of Infectious Diseases: Part I. Nature 1979 ( 280), 361-367.
Kermack, WO & McKendrick, AG: A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics. Proc. Roy. Soc. Lond. A 115 (1927) 700-721.