Dimensjonsanalyse

En fysisk størrelse kan bli beskrevet kvalitativt som en kombinasjon av fem fundamentale dimensjoner som er lette å måle (SI-enhet i parentes). M – Masse (kg), L – Lengde (m) T- Tid (s), θ – Temperatur (K), og  I – elektrisk strøm (ampere, A). Fra disse kan man utlede andre fysiske størrelser. Et måltall kombinert med en eller flere SI-måleenheter angir en fysisk størrelse. Hastighet kan ha forskjellige måleenheter for eksempel meter per sekund (m s-1), men som dimensjon er hastighet alltid Lengde dividert på Tid L/T.  Et areal får alltid dimensjon Lengde ganger Lengde L2.  Hastighet v= ds/dt, s er vei og t er tid (m s-1); akselerasjon a= dv/dt , v er hastighet (m s2); kraft F=m·a (kg m s-2); trykk p=F/A (N m-2=Pa); arbeid  W=Fs (J=Nm); massetetthet ρ=m/V (kg m-3); volumstrøm Q=V/T (m3/s); dynamisk viskositet µ (N s m-2); kinetisk energi Ek=1/2 mv2  (kg (m/s)2) og elastisitetsmodul E=F/A (N m-2) er alle eksempler på fysiske størrelser (SI-måleenhet i parentes) som kan bli beskrevet av dimensjonene M, L og T. 1/L er det samme som L-1.

SI-enheten for lysstyrke er Candela (Cd), men innen plantefysiologi er man mer interessert i å vite den totale strålingsfluksen (mol m-2 s-1) innen bølgelengdeområdet 400-700 nm. Lys er elektromagnetisk stråling og har derved en frekvens Hz, Hertz (svingninger s-1).

For elektrisk strøm vil ladning være lik Coulomb (C) (A s).

Noen mengder har ingen dimensjon for eksempel trigonometriske funksjoner, logaritmer, eksponentialfunksjonen, vinkler, tall som π, e og τ, Reynoldstall, Avogadros tall, antall mol. For eksempel er sinus til en vinkel forholdet mellom katet og hypotenus, L/L= 1, dvs. dimensjonsløs. Hukommelse og bevissthet er andre eksempler på dimensjonsløse tall.

Tabellen viser noen fysiske størrelser og deres dimensjoner:

Fysisk størrelse Beskrivelse Dimensjon SI-enhet
Areal Lengde · Lengde L2 m2
Volum 3D-Lengde L3 m3
Hastighet Lengde per Tidsenhet LT-1 m s-1
Akselerasjon Hastighetsendring LT-2 m s-2
Kraft Masse ·Aksellerasjon MLT-2 kg m s-2 = N (Newton)
Moment Masse · Hastighet MLT-1 kg m s-1
Trykk Kraft · Areal ML-1T-2 N m-2 = Pa (Pascal)
Arbeid, energi Kraft · Avstand ML2T-2 Nm = J (Joule)
Tetthet Masse per enhetsVolum ML-3 kg m-3
Viskositet Treghet i massebevegelse ML-1T-1 kg m-1 s-1
Fluiditet Invers viskositet M-1 LT m s kg-1
Diffusivitet Diffusjonskoeffisient L2T-1 m2 s-1
Overflatespenning Kraft per enhetsLengde MT-2 kg s-2
Gasskonstanten Energi per mol og grad ML2T-2θ-1 kg m2 s-2 K-1
Motstand mot fluiditet Trykkforskjell per enhetsFluid ML-4T-1 kg m-4 s-1
Termisk kapasitet Varme per enhet MasseGrad L2T-2θ-1 m2 s-2 K-1
Effekt Arbeid per Tidsenhet ML2T-2 J s-1 = W (Watt)

Dimensjoner som summeres eller subtraheres må ha samme måleenhet.

Like mengder må ha samme dimensjoner.

Enhver mengde kan multipliseres eller divideres med en annen mengde, men produkt eller kvotient må få rett dimensjon.

For differensialligninger brukt i modeller er det viktig at måleenhetene på begge sider av likhetstegnet blir den samme, og differensialet dx må ha samme enhet som x.

Måleenhetene må også være den samme på begge sider av likhetstegnet i algebraiske ligninger, og dimensjonsanalyse kan lett avsløre om man har gjort en regnefeil.

Buckingham π-teorem

Buckingham π-teorem

En fysisk meningsfull ligning har en homogen dimensjon hvis og bare hvis det finnnes en funksjon f for en mengde dimensjonsøse produkter {π1, π2, π3, …,πn} slik at

f(π1, π2, π3, …,πn) = 0

Det betyr at man må kjenne til alle relevante fysiske variable i tilknytning til problemstillingen, og sette dem sammen til dimensjonsløse π-grupper, for på denne måten å redusere antall fysiske variable. Er det m parametre og totalt n dimensjoner så blir antallet  (m-n) π-grupper. Man forsøker å finne sammenhengen mellom π-gruppene slik at

π1 = f( π2, π3, …,πn)

Teoremet er oppkalt etter Edgar Buckingham, men ble i 1878 bevist av den franske matematikeren J Bertrand.

Fluidmekanikk

Væskedynamikk omhandler væske i bevegelse, og hydrostatikk for væske i ro.  Kreftene i en væske er like stor i alle retninger, og danner grunnlaget for bruk av væske til å utføre arbeid (hydraulikk). En fri væskeoverflate har vekselvirkning med atmosfæren den står i kontakt med. Et legeme i vann  får en oppdriftskraft som er lik vekten av den fortrengte væskemengde, Arkimedes prinsipp, og gjelder også for oppdrift i luft. Oppdriftskraften F=-ρVg, hvor ρ er tettheten til væsken (eventuelt luften), V er volumet og g er tyngdens akselerasjon, minustegn for å vise at kraften virker oppover. Kraften som virker nedover blir lik F = mg. Det er størrelsen på det hydrostatiske trykket og oppdriftskraften som avgjør om et legeme i vann flyter eller synker, for eksempel en andefugl som flyter på vannet, eller en svømmeblære i fisk eller gassvakuoler i blågrønnbakterie brukt til å regulere hvor organismen plasserer seg i vannsøylen. Reologi (gr. rheo – flyt; logia – studiet av) er studiet av flytende materiale. Newtonske væsker blir beskrevet av viskositeten ved en gitt temperatur, men de fleste biologiske væsker er suspensjoner og  ikke-Newtonske væsker, for eksempel blod eller floemvæske. Viskositeten til ketchup eller flytende sjokolade blir påvirket av mekanisk risting som reduserer viskositeten ved at sjikt glir på hverandre, og har viskoelastiske egenskaper (thiksotrop , gr. thixis – berøring; tropes – vende). Deborah-tall (De) er en dimensjonsløst tall brukt innen reologi. En strøm av væske eller luft kan være laminær eller turbulent.

Rayleigh anvendte teoremet i arbeid med strømning i rør og kom fram til dimensjonsløse Reynoldstall (Re). Oppkalt etter Osborne Reynolds (1842-1912), men teorien ble utviklet av George Stokes. Reynoldstall angir forholdet mellom inerte krefter (moment) og viskøse krefter

 

Publisert 29. apr. 2016 09:48 - Sist endret 3. mai 2016 12:38