Milleniumproblemene
P = NP-problemet tilknyttet primtallsfaktorisering og reisende selger (TSP)og, korteste vei problemet. NP-harde problemstillinger og optimalisering.
Hogdes formodning i algebraisk topologi og komplekse algebraiske varieteter.
Poincaré-formodningen i geometrisk topologi, manifold og hypersfære i 4-D, øst av Grigorij Perelman i 2010 og sa nei til prispengene.
Riemann-hypotesen og løsninger av Riemanns zetafunksjon.
Eksistens av Yang-Mills og at det har et massegap i partikkelfysikk.
Eksistens og glatthet av løsningen av Navier-Stokes-differensialligningene i fluidmekanikk og strømning i væsker.
Birch-Swinnerton-Dyers formodning og løsninger av elliptiske kurver.
David Hilbert (retusjert bilde). Wikimedia Commons.
Hilberts probelmer
1. Georgs Cantors problem med kardinaltallene i kontinuum. Kontinuumhypotesen om uendeligheter som sier at det ikke finnes noe kardinaltall mellom kardinaltallet for mengden av hele tall, Alef null, og kardinaltallet for mengden av de reelle tallene. Også studert av Kurt Gödel og Paul Cohen.
2. Kompatibiliteten til de aritmetiske aksiomene, om aksiomers konsistens. Kurt Gödels fullstendighetsteorem viste at aksiomatiske systemer, Peano-aritmetikk, kan ikke bevises å være konsistente ved bruk av egne aksiomer
3. Likheten av volumene til to tetraedre med like grunnlinjer og like høyder. Gitt t o like todimensjonale polyedre, gjelder nødvendigvis ikke i tre dimensjoner. Hvis det ene polyederet deles i et uendelig antall biter og deretter settes sammen vil det være kongruent med det andre polyederet ? Ja.
4. Problemet med den rette linjen som korteste avstand mellom to punkter.
5. Lies begrep om en kontinuerlige transformasjonsgurpper uten antakelse om deriverbarheten til funksjonene som definerer gruppen. Lie-grupper (Sophus Lie) omhandler kontinuerlige transformasjoner og som således er deriverbare.
6. Matematisk behandling av aksiomene i fysikken som gir et matematisk fundament med start i klassisk mekanikk , til Boltzmanns ligning i statistisk mekanikk, Henri Poincaré med dynamiske systemer, via fluiidmekanikk til k til kvantefeltteori og enhetsteorien i fysikk . Den kinesiske matematikeren Yu Deng som fikk Fieldsmedaljen i 2026 har gitt viktige bidrag.
7. Irrasjonalitet og transcendens i noen utvalgte tall. Transendentale tall kan ikke være en løsning i algebraiske polynomligninger. Gelfond- Schneider-teormet
8. Problemene med primtall og Riemann-hypotesen. Riemanns zetafunksjon og fordeling av primtall.
9. Bevis av den mest generelle loven om resiprositet i ethvert tallfelt.Kvadratisk resiprositet i løsning av andregradsligninger modulo primtall.
10. Bestemmelse av løseligheten til en diofantisk ligning. Helltallsløsninger i diofantiske polynomligninger.
11. Kvadratiske former med alle algebraiske numeriske koeffisienter
12. Utvidelser av Kroneckers teorem om abelske felt til enhver algebraisk rasjonalitet.
13. Umulighet av løsningen av den generelle 7. grads ligningen via funksjoner med bare to argumenter.
14. Bevis på endeligheten til visse fullstendige funksjonssystemer.
15. Rigorøst grunnlag for Schuberts numerative kalkulus.
16. Problemet med topologien til algebraiske kurver og overflater.
7. Uttrykk av bestemte former via kvadrater.
18. Oppbygging av rom fra kongruente polyedre.
19. Er løsningene av vanlige problemer i variasjonsregningen alltid nødvendigvis analytiske?
20. Det generelle problemet med grenseverdier i partielle differensialligninger
21. Bevis på eksistensen av lineære differensialligninger med en foreskrevet monodromigruppe.
22. Uniformisering av analytiske relasjoner ved hjelp av automorfe funksjoner.
23. Videreutvikling av metodene for variasjonsregning.
Hilberts 6. problen løst i 2025 ?
Hiblerts 6. problem omhandler overgangen fra mikroskopisk til makroskopisk skala, for eksempel fra vannmolekyler til væskestrøm i vann. Koblingen mellom fenomenologiske ligninger som forklarer fenomener på makronivå med hva som skjer i mikroskala.
Fra Newtons lover og partikkeldynamikk med partikkelkollisjoner via Eulers bevegelsesligning , Foruriers ligning og Boltzmanns kinetisk teori og Boltzmannsfordelingen til makroskopisk bevegelse i Navier-Stokes ligning i fluidmekanikk. De kinesiske matematikerne Yu Deng, Zaher Hani og Xiao Ma mener å ha funnet beviset, blant annet ved å ta i bruk ny matematikk (kombinatorisk numerisk integrasjon).
Kombinasjon kvantefeltteori, strengteori og gravitasjon.
Fra reduksjonisme til holografi.
Den tyske matematikeren Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) Arbeidet med differensialgeometri, tallteori og kompleks analyse. Wikimedia Commons.
Riemann-hypotesen og løsninger av Riemanns zetafunksjon hører med til de problemene som mangler et matematisk bevis.
AI-bevis og matematikk
September 2026 annonserte OpenAI at de ved bruk av AI-agenter som Codex hadde funnet bevis for eksistensen av alle tredimensjonale glatte løsninger av Navier-Stoke-ligningen i fluid mekanikk for strøm av gasser eller væsker, en partiell differensialligning. Omtrent samtidig hadde matematikerne Tristan Buckmaster og Levent Alpöge funnet løsning av Eulerligningene i fluid mekanikk, som er et spesialtilfelle av Navier-Stoke. Det pågår en disputt om hvem som ksal krediteres for hva. For å kontrollere AI-bevis i matematikk anvender man programmeringsspråket LEAN for å verifisere programkoden i AI-beviset.
Litteratur
Wikipedia